A Fractal Dimension for Measures via Persistent Homology
A Fractal Dimension for Measures via Persistent Homology
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通过持久同调测量的分形维数
DOI：
10.1007/978-3-030-43408-3_1
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发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Shonkwiler, C.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Adams, H.;Aminian, M;Farnel, E.;Kirby, M.;Mirth, J.;Neville, R.;Peterson, C.;Shonkwiler, C.
我们使用持久同源性来定义分形维数族，表示每个同源维数 i≥ 0，分配给度量空间上的概率测度μ。零维同调 (i= 0) 的情况与 Steele 的工作有关 (Ann Probab 16(4): 1767–1787, 1988)，研究随机采样点的最小生成树的总长度。事实上，如果μ被支持在欧几里得空间形式≥ 2的紧致子集上，那么斯蒂尔的工作意味着如果μ的绝对连续部分具有正质量，否则。实验表明，对于高维同源性 0 <i<m，类似的结果可能是正确的，尽管这是一个悬而未决的问题。我们的分形维数是通过考虑从 i.i.d. 中的 μ 中选择的随机点的 i 维持久同源区间长度总和的极限来定义的，因为点的数量趋于无穷大。时尚。对于某些测量μ，我们能够分配更精细的不变量，即当点数趋于无穷大时测量持久同源区间长度的极限分布的曲线。我们证明了在零维同调的情况下，当μ是单位区间上的均匀分布时，这条极限曲线存在，并推测当μ是欧几里得空间中具有正勒贝格测度的紧集的重新标度概率测度时，这条极限曲线存在。
We use persistent homology in order to define a family of fractal dimensions, denotedfor each homological dimensioni≥ 0, assigned to a probability measureμon a metric space. The case of zero-dimensional homology (i= 0) relates to work by Steele (Ann Probab 16(4): 1767–1787, 1988) studying the total length of a minimal spanning tree on a random sampling of points. Indeed, ifμis supported on a compact subset of Euclidean spaceform≥ 2, then Steele’s work implies thatif the absolutely continuous part ofμhas positive mass, and otherwise. Experiments suggest that similar results may be true for higher-dimensional homology 0 <i<m, though this is an open question. Our fractal dimension is defined by considering a limit, as the number of pointsngoes to infinity, of the total sum of thei-dimensional persistent homology interval lengths fornrandom points selected fromμin an i.i.d. fashion. To some measuresμ, we are able to assign a finer invariant, a curve measuring the limiting distribution of persistent homology interval lengths as the number of points goes to infinity. We prove this limiting curve exists in the case of zero-dimensional homology whenμis the uniform distribution over the unit interval, and conjecture that it exists whenμis the rescaled probability measure for a compact set in Euclidean space with positive Lebesgue measure.
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DOI：
--
发表时间：
2015-07
期刊：
J. Mach. Learn. Res.
影响因子：
--
作者：
Henry Adams;T. Emerson;M. Kirby;R. Neville;C. Peterson;Patrick D. Shipman;Sofya Chepushtanova;Eric M. Hanson;Francis C. Motta;Lori Ziegelmeier
通讯作者：
Henry Adams;T. Emerson;M. Kirby;R. Neville;C. Peterson;Patrick D. Shipman;Sofya Chepushtanova;Eric M. Hanson;Francis C. Motta;Lori Ziegelmeier
DOI：
10.1515/zna-1982-1117
发表时间：
1982
期刊：
Zeitschrift für Naturforschung A
影响因子：
--
作者：
J. Farmer
通讯作者：
J. Farmer
连续统渗流的 RSW 定理和欧几里得最小生成树的 CLT
影响因子：
1.8
作者：
K. S. Alexander
通讯作者：
K. S. Alexander
康托集的元素：及其应用
DOI：
10.1002/9781118548745
发表时间：
2013
期刊：
--
影响因子：
--
作者：
R. Vallin
通讯作者：
R. Vallin
影响因子：
1.5
作者：
Owada, Takashi;Bobrowski, Omer
通讯作者：
Bobrowski, Omer