Lattice bimorphisms on f-algebras
Lattice bimorphisms on f-algebras
复制标题
f-代数上的格双态
DOI：
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发表时间：
2002
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
M. Toumi
中科院分区：
文献类型：
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作者：
K. Boulabiar;M. Toumi
抽象的。设 A、B 和 C 为格序代数，并设 $ \Psi : A \times B \rightarrow C $ 为双线性映射。如果对于每个 $0 \leq f \in A $ 和每个 $0 \leq g \in B $ ，部分映射 $ g \mapsto \Psi (f, g) $ 和 $ f \mapsto \Psi (f, g) $ 分别是 B 和 A 到 C 的晶格同态，我们称 $ \Psi $ 为格双态；如果 $ \Psi (uf, vg) = \Psi (u, v) \Psi (f, g) $ 在 C 中对于所有 $ u, f \in A $ 和 $ v, g \in B $ 成立，则 $ \Psi $ 是乘法。在本文中，我们详细研究了 f 代数上的格双态和乘法双线性映射之间的联系。我们在这个方向上的中心结果如下：如果 A、B 和 C 是分别具有单位元素 eA、eB 和 eC 的阿基米德 f 代数，且 $ \Psi : A \times B \rightarrow C $ 是马尔可夫双线性映射（即 $ \Psi $ 为正且 $ \Psi $ (eA, eB) = eC），则 $ \Psi $ 是晶格双态当且仅当 $ \Psi $ 为乘法。我们在这项工作中提出的这一结果的主要应用是阿基米德（不一定是可交换的）d 代数中的柯西-施瓦茨不等式，它是 Buskes 和 van Rooij 结果的改进，他们在可交换的情况下建立了这种不等式。
Abstract. Let A, B and C be lattice-ordered algebras and let $ \Psi : A \times B \rightarrow C $ be a bilinear map. We call $ \Psi $ a lattice bimorphism if for each $ 0 \leq f \in A $ and each $ 0 \leq g \in B $ the partial maps $ g \mapsto \Psi (f, g) $ and $ f \mapsto \Psi (f, g) $ are lattice homomorphisms of B and A into C, respectively; and we say that $ \Psi $ is multiplicative if $ \Psi (uf, vg) = \Psi (u, v) \Psi (f, g) $ holds in C for all $ u, f \in A $ and $ v, g \in B $. In this paper, we study the connection between lattice bimorphisms and multiplicative bilinear maps on f-algebras in great detail. Our central result in this direction is the following: if A, B and C are Archimedean f-algebras with unit elements eA, eB and eC respectively and $ \Psi : A \times B \rightarrow C $ is a Markov bilinear map (i.e., $ \Psi $ is positive and $ \Psi $ (eA, eB) = eC) then $ \Psi $ is a lattice bimorphism if and only if $ \Psi $ is multiplicative. The main application of this result we present in this work is the Cauchy-Shwarz inequality in Archimedean (not necessarily commutative) d-algebras, which is an improvement of the result of Buskes and van Rooij, who established this inequality in the commutative case.