The behaviour of square functions from ergodic theory in $L^{\infty}$
The behaviour of square functions from ergodic theory in $L^{\infty}$
复制标题
DOI：
10.1090/proc12737
复制
发表时间：
2014-10
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
G. Hong
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
G. Hong
在本文中，我们仔细分析了起源于遍历理论的平方函数$S$和$S_\mathcal I$在$L^\infty（\mathbb R）$中的行为。首先，我们证明了我们可以在L^\infty（\mathbb{R}）$中找到某个函数$f\，使得$Sf$在非零测度集上等于无穷大。其次，我们可以在L^\infty（\mathbb{R}）$和$\mathcal I$中找到紧支撑函数$f\，使得$S_\mathcal{I} f$不属于$BMO$空间。最后，我们证明了$S$是从$L^{\infty}_c$到$BMO$有界的。因此，我们解决了Jones，考夫曼，Rosenblatt和Wierdl在\cite{JKRW 98}中提出的一个公开问题。也就是说，$S_\mathcal I$关于$\mathcal I $在$L^p（\mathbb R）$中一致有界，其中$2
In this paper, we analyze carefully the behaviour in $L^\infty(\mathbb R)$ of the square functions $S$ and $S_\mathcal I$'s, originating from ergodic theory. Firstly, we show that we can find some function $f\in L^\infty(\mathbb{R})$, such that $Sf$ equals infinity on a nonzero measure set. Secondly, we can find compact supported function $f\in L^\infty(\mathbb{R})$ and $\mathcal I$ such that $S_\mathcal{I} f$ does not belong to $BMO$ space. Finally, we show that $S$ is bounded from $L^{\infty}_c$ to $BMO$ space. As a consequence, we solve an open question posed by Jones, Kaufman, Rosenblatt and Wierdl in \cite{JKRW98}. That is, $S_\mathcal I$ are uniformly bounded in $L^p(\mathbb R)$ with respect to $\mathcal I$ for $2