Global geometry of regions and boundaries via skeletal and medial integrals
Global geometry of regions and boundaries via skeletal and medial integrals
复制标题
通过骨骼和内侧积分实现区域和边界的全局几何形状
DOI：
--
复制
发表时间：
2007
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
J. Damon
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Damon
对于 Rn+1 中具有平滑通用边界 B 的紧凑区域 Ω，Blum 中轴 M 是 Ω 中在两个或多个点与 B 相切的球体中心的轨迹。 Ω 的几何形状由 M 和 U 编码，M 是惠特尼分层集，U 是从 M 上的点到切点的多值向量场。我们根据 M 上的积分给出 B 或 Ω 上函数积分的一般公式。这些积分公式涉及一个径向形状算子，它捕获 M 上 U 的径向几何形状、M 上的固有内侧测量以及从 M 到 B 的径向流。对于 Ω 上的积分，当我们放宽 (M, U) 上的条件时，公式仍然有效，从而产生更一般的骨架结构。这些积分公式应用于得出： Weyl 管体积公式的扩展，其中我们用一般区域替换管； B 的广义高斯-邦内公式的中值版本，即使对于奇数维 B 也有效；针对 Ω 子区域的 Crofton 型公式和 Steiner 公式的版本，以及针对中轴上具有不连续性的向量场的 Ω 子区域上的散度定理的版本。最后一个结果证明了寻找中轴的算法的合理性，该算法使用与其他地方引入的奇点的局部中密度等效的不变式。
For a compact region Ω in Rn+1 with smooth generic boundary B, the Blum medial axis M is the locus of centers of spheres in Ω which are tangent to B at two or more points. The geometry of Ω is encoded by M , which is a Whitney-stratified set, and U , the multivalued vector field from points on M to the points of tangency. We give general formulas for integrals of functions over B or Ω in terms of integrals over M . These integral formulas involve a radial shape operator which captures the radial geometry of U on M , an intrinsic medial measure on M , and a radial flow from M to B. For integrals over Ω, the formulas remain valid when we relax the conditions on (M, U), yielding a more general skeletal structure. These integral formulas are applied to yield: an extension of Weyl’s volume of tubes formula where we replace tubes by general regions; a medial version of the generalized Gauss– Bonnet formula for B, valid even for odd-dimensional B; versions of Crofton-type formulas and Steiner formulas for subregions of Ω and a version of the divergence theorem over subregions in Ω for vector fields with discontinuities across the medial axis. This last result leads to a justification of an algorithm for finding the medial axis, using an invariant equivalent to a local medial density for singularities introduced elsewhere.