HOW STRONG IS RAMSEY’S THEOREM IF INFINITY CAN BE WEAK?
HOW STRONG IS RAMSEY’S THEOREM IF INFINITY CAN BE WEAK?
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如果无穷大可以很弱，那么拉姆齐定理有多强？
DOI：
10.1017/jsl.2022.46
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
YOKOYAMA KEITA
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
KOLODZIEJCZYK LESZEK ALEKSANDER;KOWALIK KATARZYNA W.;YOKOYAMA KEITA
我们在相对较弱的二阶算术理论上研究了拉姆齐定理对于n元组k-着色的一阶结论（对于固定的）。利用Chong-Mourad编码引理，我们证明了在一个不满足归纳的模型中，等价于它相对于任何适当定义的割的相对化，所以它的真值在具有相同一阶宇宙的模型的所有扩展中保持不变。 我们给出了一个完整的公理化的一阶后果。我们表明，他们形成了一个非可公理化的子理论，其片段符合和其片段之间的谎言。我们也给出了一个完整的公理化的一阶后果。在一般情况下，我们表明，一阶后果的形式的子理论的片段相吻合，其片段是严格弱于，但不包含在。 此外，我们考虑一个原则-这是定义一样，但与-着色和解决方案允许-集，而不仅仅是集。我们表明，在许多方面的行为是类似的，在，这是-但不是-保守的。然而，我们用来证明非保守性失效的陈述在中是不可证明的。
We study the first-order consequences of Ramsey’s Theorem for k-colourings of n-tuples, for fixed , over the relatively weak second-order arithmetic theory . Using the Chong–Mourad coding lemma, we show that in a model of that does not satisfy induction, is equivalent to its relativization to any proper -definable cut, so its truth value remains unchanged in all extensions of the model with the same first-order universe. We give a complete axiomatization of the first-order consequences of for . We show that they form a non-finitely axiomatizable subtheory of whose fragment coincides with and whose fragment for lies between and . We also give a complete axiomatization of the first-order consequences of . In general, we show that the first-order consequences of form a subtheory of whose fragment coincides with and whose fragment is strictly weaker than but not contained in . Additionally, we consider a principle - which is defined like but with both the -colourings and the solutions allowed to be -sets rather than just sets. We show that the behaviour of - over is in many ways analogous to that of over , and that - is - but not -conservative over . However, the statement we use to witness failure of -conservativity is not provable in .
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