A generalization of Larman-Rogers-Seidel's theorem
A generalization of Larman-Rogers-Seidel's theorem
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DOI：
10.1016/j.disc.2011.01.026
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发表时间：
2009-12
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Hiroshi Nozaki
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Hiroshi Nozaki
如果 X 的任意两个不同点之间的欧几里德距离集合的大小为 s，则 d 维欧几里德空间中的有限集 X 称为 s 距离集。 Larman-Rogers-Seidel 证明，如果两个距离集合的基数大于 2d+3，则存在一个整数 k，使得 a2/b2=(k−1)/k，其中 a 和 b 是距离。在本文中，我们给出了该定理对于任意 s 的扩展。即，如果 s 距离集合的大小大于取决于 d 和 s 的某个值，则 s 距离的某些函数将变为整数。此外，我们证明，如果X的大小大于该值，则s距离集的数量是有限的。
A finite set X in the d-dimensional Euclidean space is called an s-distance set if the set of Euclidean distances between any two distinct points of X has size s. Larman–Rogers–Seidel proved that if the cardinality of a two-distance set is greater than 2d+3, then there exists an integer k such that a2/b2=(k−1)/k, where a and b are the distances. In this paper, we give an extension of this theorem for any s. Namely, if the size of an s-distance set is greater than some value depending on d and s, then certain functions of s distances become integers. Moreover, we prove that if the size of X is greater than the value, then the number of s-distance sets is finite.