Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers
Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers
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DOI：
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发表时间：
1998
期刊：
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通讯作者：
Pierre Dusart
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Pierre Dusart
大于2的整数可分解为两个不相交的大类：素数和合数。本文围绕函数π(x)展开，该函数计算小于x的素数的个数。自从素数定理在一百多年前被证明以来，我们知道了当x趋于无穷时π(x)的一个等价形式。我们证明了π(x)的一个精确的界，以及通过切比雪夫函数对素数的一个估计。我们依据Rosser和Schoenfeld（1975）提出的方法。其次，我们研究在哪些区域函数π(x)具有次可加性性质π(x + y) ≤ π(x) + π(y)。然而，这个性质与孪生素数的一种推广是不相容的：k - 元组猜想。我们展示了一个超密集的可允许k - 元组。最后，沿着Mc Curley（1984）以及Ramare和Rumely（1996）所开辟的道路，我们给出了算术级数中切比雪夫函数的估计。最后，我们基于组合筛法（梅塞尔 - 莱默筛法（1870年）比埃拉托色尼筛法（公元前200年）更有效）的概念，提出了一个在算术级数中精确计算π(x)直至x = 10#2#0的算法。
Les nombres entiers superieurs a 2 se decomposent en deux grandes classes disjointes : les nombres premiers et les nombres composes. Le travail presente s'articule autour de la fonction (x) qui compte le nombre de premiers inferieurs a x. Depuis que le theoreme des nombres premiers a ete demontre, il y a un peu plus de cent ans, nous connaissons un equivalent de (x) pour x tendant vers l'infini. Nous demontrons un encadrement precis de (x) ainsi qu'une estimation pour les nombres premiers par l'intermediaire des fonctions de chebyshev. Nous nous appuyons sur des methodes proposees par rosser & schoenfeld (1975). Dans un deuxieme temps, nous etudions sur quels domaines la fonctions (x) possede la propriete de sous-additivite (x + y) (x) + (y). Cette propriete est pourtant incompatible avec une generalisation des nombres premiers jumeaux : la conjecture des k-uples. Nous exhibons un k-uple admissible super-dense. Enfin, poursuivant le chemin trace par mc curley (1984) puis ramare & rumely (1996), nous donnons des estimations des fonctions de chebyshev dans les progressions arithmetiques. Pour finir, nous proposons un algorithme de calcul exact de (x) jusqu'a x = 10#2#0 dans les progressions arithmetiques base sur la notion de crible combinatoire (crible de meissel-lehmer (1870) plus efficace que le crible d'eratosthene (200 avant jc).