Electrostatic interpretation of zeros of orthogonal polynomials
Electrostatic interpretation of zeros of orthogonal polynomials
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正交多项式零点的静电解释
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发表时间：
2018
影响因子：
1
通讯作者：
S. Steinerberger
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
S. Steinerberger
<p>我们研究微分方程<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="减左括号 p 左括号 x 右括号 y 上标素数 基线右括号 上标素数 基线加 q 左括号 x 右括号 y 上标素数 基线等于 lamda y 逗号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>y</mml:mi>
<mml:月>'</mml:月>
</mml：msup>
<mml:msup>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:月>'</mml:月>
</mml：msup>
<mml:月>+</mml:月>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>y</mml:mi>
<mml:月>'</mml:月>
</mml：msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mi>y</mml:mi>
<mml：月>，</mml：月>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">- (p(x) y')' + q(x) y' = lambda y,</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</内联公式> 其中<内联公式内容类型=“数学/数学”>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 左括号 x 右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">p(x)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 是次数最多为 2 的多项式，并且 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q 左括号 x 右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">q(x)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 是次数最多为 1 的多项式。这包括经典的 Jacobi 多项式、Hermite 多项式、Legendre 多项式、Chebychev 多项式和 Laguerre 多项式。我们提供此类多项式零点的一般静电解释：一组不同的实数 <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet x 1 逗号 省略号 逗号 x 下标 n 基线 EndSet">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml：msub>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mo>...<!-- ... --></mml:mo>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml：msub>
<mml：月>}</mml：月>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">左 {x_1, 点 , x_n
右}</mml:注释>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 满足 <disp-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 左括号 x 下标 i 基线右括号 sigma-summation 下标 StartLayout 第一行 k 等于 1 第二行 k 不等于 i EndLayout 上标 n Endscripts StartFraction 2 Over x 下标 k 基线减去 x 下标 i 基线 EndFraction等于 q 左括号 x 下标 i 基线右括号减去 p 素数左括号 x 下标 i 基线右括号 正常 f 正常 o 正常 r 正常 a 正常 l 正常 l 1 小于或等于 i 小于或等于 n">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>我</mml:mi>
</mml：msub>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:munderover>
<mml:mo>Σ<!-- Σ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml：mfrac线厚=“0”>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo>
<mml:mi>我</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml：mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml：mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml：msub>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>我</mml:mi>
</mml：msub>
</mml:mrow>
</mml：mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>我</mml:mi>
</mml：msub>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:月>'</mml:月>
</mml：msup>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>我</mml:mi>
</mml：msub>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml：mspace宽度=“2em”/>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mtext> </mml:mtext>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>我</mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">egin{equation*} p(x_i) sum _{k = 1 atop k
eq i}^{n}{frac {2}{x_k - x_i}} = q(x_i) - p’(x_i) qquad mathrm {对于所有}~ 1leq i leq n end{方程*}</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</disp-公式>
当且仅当它们是求解微分方程的多项式的零点。我们还根据 <inline-formula content-type="math/mathml"> 导出 ODE 系统
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p 左括号 x 右括号逗号 q 左括号 x 右括号">
<mml：语义>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
<mml：月>，</mml：月>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mostretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation 编码="application/x-tex">p(x),q(x)</mml:annotation>
</mml：语义>
</mml：数学>
</inline-formula> 其解以指数速率收敛到正交多项式的零点。</p>
<p>We study the differential equation <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus left-parenthesis p left-parenthesis x right-parenthesis y Superscript prime Baseline right-parenthesis Superscript prime Baseline plus q left-parenthesis x right-parenthesis y Superscript prime Baseline equals lamda y comma">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>y</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>y</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi>
<mml:mi>y</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">- (p(x) y’)’ + q(x) y’ = lambda y,</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis x right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">p(x)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is a polynomial of degree at most 2 and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q left-parenthesis x right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">q(x)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is a polynomial of degree at most 1. This includes the classical Jacobi polynomials, Hermite polynomials, Legendre polynomials, Chebychev polynomials, and Laguerre polynomials. We provide a general electrostatic interpretation of zeros of such polynomials: a set of distinct, real numbers <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet x 1 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline EndSet">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>…<!-- … --></mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">left {x_1, dots , x_n
ight }</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> satisfies <disp-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis x Subscript i Baseline right-parenthesis sigma-summation Underscript StartLayout 1st Row k equals 1 2nd Row k not-equals i EndLayout Overscript n Endscripts StartFraction 2 Over x Subscript k Baseline minus x Subscript i Baseline EndFraction equals q left-parenthesis x Subscript i Baseline right-parenthesis minus p prime left-parenthesis x Subscript i Baseline right-parenthesis normal f normal o normal r normal a normal l normal l 1 less-than-or-equal-to i less-than-or-equal-to n">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:munderover>
<mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mfrac linethickness="0">
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>≠<!-- ≠ --></mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mfrac>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>−<!-- − --></mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mspace width="2em" />
<mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mml:mi mathvariant="normal">f</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="normal">l</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mtext> </mml:mtext>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">egin{equation*} p(x_i) sum _{k = 1 atop k
eq i}^{n}{frac {2}{x_k - x_i}} = q(x_i) - p’(x_i) qquad mathrm {for all}~ 1leq i leq n end{equation*}</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</disp-formula>
if and only if they are zeros of a polynomial solving the differential equation. We also derive a system of ODEs depending on <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis x right-parenthesis comma q left-parenthesis x right-parenthesis">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">p(x),q(x)</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> whose solutions converge to the zeros of the orthogonal polynomial at an exponential rate.</p>