TAMAGAWA NUMBERS
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玉川数字
DOI：
10.1090/crmm/011/02
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Yihang Zhu
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Yihang Zhu
考虑H上的庞加莱度量，由ds = dx + dy y2给出。在这个度量下，H有常曲率−1，F是一个角为π/3，π/3，0的（广义）测地三角形。通过高斯-博内或直接计算，F的面积等于π/3，在d s诱导的测度y−2 dx dy下。设K = SO 2（R）<$SL 2（R）.我们有SL 2（R）/K −→ H，g 7→ gi。由此我们看到，F，大致为SL 2（Z）\H = SL 2（Z）\SL 2（R）/K，与商SL 2（Z）\SL 2（R）密切相关。特别地，F的面积应该与SL 2（Z）\SL 2（R）相关。我们现在把它做得更精确。我们有SL 2（R）的岩泽分解：N ×A ×K −→ SL 2（R）（1）
Consider the Poincaré metric on H, given by d s = d x +d y y2 . Under this metric H has constant curvature −1, and F is a (generalized) geodesic triangle with angles π/3, π/3, 0. By Gauss-Bonnet or direct calculation the area of F is equal to π/3, under the measure y−2 dx d y induced by d s. Let K = SO2(R) ⊂ SL2(R). We have SL2(R)/K ∼ −→ H, g 7→ gi. From this we see that F , which is roughly SL2(Z)\H = SL2(Z)\ SL2(R)/K, is closely related to the quotient SL2(Z)\SL2(R). In particular the area of F should be related to SL2(Z)\ SL2(R). We now make this more precise. We have the Iwasawa decomposition for SL2(R): N ×A ×K ∼ −→ SL2(R) (1)