Stopping Brownian Motion Without Anticipation as Close as Possible to Its Ultimate Maximum
Stopping Brownian Motion Without Anticipation as Close as Possible to Its Ultimate Maximum
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在没有预期尽可能接近其最终最大值的情况下停止布朗运动
DOI：
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发表时间：
2001
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
A. Shiryaev
中科院分区：
文献类型：
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作者：
S. Graversen;G. Peskir;A. Shiryaev
设$B=（B_t）_{0 le t le 1}$是从0开始的标准布朗运动，设$S_t=$ $max_{ 0 le r le t} B_r$，其中$0 le t le 1$。考虑最优停止问题$displaystyle V_*= inf
极限 Au mathbf{E}（B_ Au -S_1）^2$，其中下确界取B的所有停时，满足$0 le Au le 1$.我们证明了下确界是在停时达到的。 Au _* = inf IG{ 0le tle1 mid S_t-B_t ge z_* sqrt{1-t } IG}，$$其中$z_*=1.12 ldots$是方程$displaystyle 4 Phi（z_*）-2z_*varphi（z_*）-3 = 0 $的唯一根，其中$varphi（x）=（1/sqrt{2 pi }），e^{-x^2/2}$且$ Phi（x）=int_{-infty}^x varphi（y）dy$。值$V_*$等于$2 Phi（z_*）-1$。证明的方法依赖于一个随机积分表示的$S_1$，时变参数，和一个自由边界（斯特凡）问题的解决方案。
Let $B=(B_t)_{0 le t le 1}$ be the standard Brownian motion started at 0, and let $S_t=$ $max_{ 0 le r le t} B_r$ for $0 le t le 1$. Consider the optimal stopping problem $displaystyle V_*= inf
olimits_ au mathbf{E}(B_ au -S_1)^2$, where the infimum is taken over all stopping times of B satisfying $0 le au le 1$. We show that the infimum is attained at the stopping time $$ au _* = inf ig{ 0le tle1 mid S_t-B_t ge z_* sqrt{1-t } ig}, $$ where $z_*=1.12 ldots$ is a unique root of the equation $displaystyle 4 Phi (z_*)-2z_*varphi(z_*)-3=0$ with $varphi(x)=(1/sqrt{2 pi }),e^{-x^2/2}$ and $ Phi (x)=int_{-infty}^x varphi(y) dy$. The value $V_*$ equals $2 Phi (z_*)-1$. The method of proof relies upon a stochastic integral representation of $S_1$, time-change arguments, and the solution of a free-boundary (Stefan) problem.