Spectral theory of $\mathbb{Z}^{d}$ substitutions
Spectral theory of $\mathbb{Z}^{d}$ substitutions
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$mathbb{Z}^{d}$ 替换的谱理论
DOI：
10.1017/etds.2016.66
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发表时间：
2016
影响因子：
0.9
通讯作者：
Alan F. Bartlett
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Alan F. Bartlett
在本文中，我们推广和发展的结果Queffélec让我们来表征谱的非周期$\mathbb{Z}^{d}$替代。具体来说，我们描述的傅立叶系数的相互奇异措施的纯型产生的最大谱型的翻译运营商的$L^{2}$，没有任何假设的折射率或高度，并显示奇异性的非周期性双射交换$\mathbb{Z}^{d}$替代。此外，我们提供了一个简单的算法来确定非周期性的$\mathbf{q}$ -替代的频谱，并使用此来显示奇异的Queffélec的非交换双射替代，以及表平铺，回答一个悬而未决的问题Solomyak。最后，我们证明了紧度量空间上的每个测度的遍历矩阵都可以对角化，并将其用于主要结果的证明。
In this paper, we generalize and develop results of Queffélec allowing us to characterize the spectrum of an aperiodic $\mathbb{Z}^{d}$ substitution. Specifically, we describe the Fourier coefficients of mutually singular measures of pure type giving rise to the maximal spectral type of the translation operator on $L^{2}$ , without any assumptions on primitivity or height, and show singularity for aperiodic bijective commutative $\mathbb{Z}^{d}$ substitutions. Moreover, we provide a simple algorithm to determine the spectrum of aperiodic $\mathbf{q}$ -substitutions, and use this to show singularity of Queffélec’s non-commutative bijective substitution, as well as the Table tiling, answering an open question of Solomyak. Finally, we show that every ergodic matrix of measures on a compact metric space can be diagonalized, which we use in the proof of the main result.