On a Theorem of H. Sawada
On a Theorem of H. Sawada
复制标题
论H.泽田定理
DOI：
10.1112/jlms/s2-18.2.247
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发表时间：
1978
影响因子：
1.2
通讯作者：
J. Green
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Green
(1.1) 设 C 为有限群，k 为域。我们用 J/(kG) 表示有限生成的左 kG 模的类别，其中 kG 是 G 在 k 上的群代数。现在设U是G的子群。U的所有元素u的和y=£w，生成左A：G-子模Y—kG。 kG 的 y，其维数等于 G 中 U 的索引 (G: U)，事实上 (1-la) Y s I nd/(*„)= A'u0，其中 A'y 是 A:，被视为平凡的 A'(/-模。我们将把所有有限生成的 right£-模的范畴写成 Jl'{E)，其中 E= EndkG (Y) 是 Y 的自同态代数。(1. 2) 众所周知，例如 Curtis 和 Fossum [4]，当 k 具有特征零时，出现在 G 的字符 1^ 中的 G 的简单（=不可约）特征与 E 的简单特征之间存在双射对应。最近 H. Sawada [7] 证明，当 k 是有限特征 p 的代数闭集时，会发生类似的情况，G 是具有相同特征的分裂 (B, N) 对的群 (Richen) [6]），U 是 G 的 Sylowp 子群。Sawada 使用了有关 Richen [6] 和 Curtis [3] 发现的简单/cG 模的一些详细信息，但对其论证的检验表明，只要以下两个特殊假设成立，他的主要结论仍然有效：
(1.1) Let C be a finite group and k a field. We denote by J/(kG) the category of finitely-generated left kG-modules, where kG is the group algebra of G over k. Now let U be a subgroup of G. The sum y=£ w of all the elements u of U, generates a left A: G-submodule Y—kG. y of kG, whose dimension equals the index (G: U) of U in G, and in fact (1-la) Y s I nd/(*„)= A'u0, where A'y is A:, regarded as trivial A'(/-module. We shall write Jl'{E) for the category of all finitely-generated right£-modules, where E= EndkG (Y) is the algebra of endomorphisms of Y.(1. 2) It is well-known—see for example Curtis and Fossum [4]—that when k has characteristic zero, there is a bijective correspondence between the simple (= irreducible) characters of G which appear in the character 1^ of G, and the simple characters of E. Recently H. Sawada [7] has proved that a similar situation occurs when k is algebraically closed of finite characteristic p, G is a group with split (B, N)-pair of the same characteristic (Richen [6]), and U is a Sylowp-subgroup of G. Sawada uses some detailed information about the simple/cG-modules found by Richen [6] and Curtis [3], but an examination of his argument shows that his main conclusions remain valid whenever the two following special hypotheses hold: