The shuffle variant of Jesmanowicz' conjecture concerning Pythagorean triples
The shuffle variant of Jesmanowicz' conjecture concerning Pythagorean triples
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Jesmanowicz 关于毕达哥拉斯三元组猜想的洗牌变体
DOI：
10.1017/s1446788711001340
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发表时间：
2011
影响因子：
0.7
通讯作者：
Takafumi Miyazaki
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Yasutsugu Fujita;Takafumi Miyazaki;Yutaroh OKI;Takafumi Miyazaki;Yutaroh OKI;Takafumi Miyazaki
令 (a,b,c) 为原始毕达哥拉斯三元组，使得 b 为偶数。 1956年，Jeśmanowicz猜想方程ax+by=cz在正整数上有唯一解(x,y,z)=(2,2,2)。这是毕达哥拉斯三元组中最著名的未解决问题之一。在本文中，我们提出了一个类似的问题（我们称之为 Jeśmanowicz 问题的洗牌变体）。我们的问题指出，如果 c=b+1，则 x、y 和 z 为正整数的方程 cx+by=az 具有唯一解 (x,y,z)=(1,1,2)，如果 c>b+1 则没有解。我们证明 Jeśmanowicz 问题的洗牌变体在 c=1 mod b 时为真。
Let (a,b,c) be a primitive Pythagorean triple such that b is even. In 1956, Jeśmanowicz conjectured that the equation ax+by=cz has the unique solution (x,y,z)=(2,2,2) in the positive integers. This is one of the most famous unsolved problems on Pythagorean triples. In this paper we propose a similar problem (which we call the shuffle variant of Jeśmanowicz’ problem). Our problem states that the equation cx+by=az with x,y and z positive integers has the unique solution (x,y,z)=(1,1,2) if c=b+1 and has no solutions if c>b+1 . We prove that the shuffle variant of the Jeśmanowicz problem is true if c≡1 mod b.