Hom-stacks and restriction of scalars
Hom-stacks and restriction of scalars
复制标题
Hom-stacks 和标量限制
DOI：
10.1215/s0012-7094-06-13414-2
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发表时间：
2006
影响因子：
2.5
通讯作者：
Martin Olsson
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Martin Olsson
固定一个代数空间 S，并让 X 和 Y 被分离为具有有限对角线（在 S 上）的 S 上的有限表示的 Artin 堆栈。我们定义一个堆栈 HomS(X ,Y)，对 X 和 Y 之间的态射进行分类。假设 X 在 S 上是真值且平坦的，并且 fppf – 在 S 上局部存在有限有限呈现的平坦覆盖 Z → X，其中 Z 是代数空间。然后我们证明 HomS(X ,Y) 是一个具有拟紧且分离对角线的 Artin 堆栈。 1. 结果陈述 固定一个代数空间 S，令 X 和 Y 分离为 S 上具有有限对角线的有限表示的 Artin 堆栈。将 HomS(X ,Y) 定义为 S 方案类别上的纤维类别，它与任何 T → S 关联函子 XT → YT 的群群在 T 上，其中 XT（分别为 YT ）表示 X ×S T （分别为 Y ×S T ）。定理1.1。令 X 和 Y 有限地呈现为 S 上具有有限对角线的分离 Artin 堆栈。此外，假设 X 在 S 上是平坦且正确的，并且在 S 上的 fppf 拓扑中局部存在来自代数空间 Z 的有限且有限呈现的平面满射 Z → X。则纤维范畴 HomS(X ,Y) 是 S 上局部有限呈现的 Artin 堆栈，具有分离且准紧对角线。如果 Y 是 Deligne–Mumford 栈（或代数空间），则 HomS(X ,Y) 也是 Deligne–Mumford 栈（或代数空间）。备注 1.2。如果 S 是场的谱，X 是 Deligne-Mumford 堆栈，它是全局商堆栈并且具有拟投影粗模空间，则通过 ([15], 2.1) 总是存在有限平覆盖 Z → X 。备注 1.3。当 S 是任意的并且 X 是 ([1]) 意义上的扭曲曲线时，S 上的局部 etale 也确实存在有限平覆盖 Z → X，如 (1.1) 中所示。这如（[19]）所示。备注 1.4。在 X 和 Y 对角线上较弱的假设下，可以证明 HomS(X ,Y) 是 Artin 堆栈（尽管要使 HomS(X ,Y) 的对角线具有合理的属性，(1.1) 的假设似乎是必要的）。 Aoki 最近展示了这一点。定理 1.1 将从另一个关于堆栈前推的结果推导出来。令 S/S 为局部有限表示且具有有限对角线的分离 Artin 堆栈。对于代数空间 f : S → T 的任何态射，将 f*S 定义为 T 上的纤维范畴，它对于任何 T '/T 都将群群 S(T ' ×T S) 与回调的自然概念相关联。我们将 f*S 称为 S 标量从 S 到 T 的限制。定理1.5。设 f : S → T 是代数空间的真、有限表示、平坦态射。那么纤维类别 f*S 是 T 1 上局部有限表示的 Artin 堆栈
Fix an algebraic space S, and let X and Y be separated Artin stacks of finite presentation over S with finite diagonals (over S). We define a stack HomS(X ,Y) classifying morphisms between X and Y. Assume that X is proper and flat over S, and fppf–locally on S there exists a finite finitely presented flat cover Z → X with Z an algebraic space. Then we show that HomS(X ,Y) is an Artin stack with quasi–compact and separated diagonal. 1. Statements of results Fix an algebraic space S, let X and Y be separated Artin stacks of finite presentation over S with finite diagonals. Define HomS(X ,Y) to be the fibered category over the category of S–schemes, which to any T → S associates the groupoid of functors XT → YT over T , where XT (resp. YT ) denotes X ×S T (resp. Y ×S T ). Theorem 1.1. Let X and Y be finitely presented separated Artin stacks over S with finite diagonals. Assume in addition that X is flat and proper over S, and that locally in the fppf topology on S there exists a finite and finitely presented flat surjection Z → X from an algebraic space Z. Then the fibered category HomS(X ,Y) is an Artin stack locally of finite presentation over S with separated and quasi–compact diagonal. If Y is a Deligne– Mumford stack (resp. algebraic space) then HomS(X ,Y) is also a Deligne–Mumford stack (resp. algebraic space). Remark 1.2. If S is the spectrum of a field and X is a Deligne–Mumford stack which is a global quotient stack and has quasi–projective coarse moduli space, then by ([15], 2.1) there always exists a finite flat cover Z → X . Remark 1.3. When S is arbitrary and X is a twisted curve in the sense of ([1]), it is also true that etale locally on S there exists a finite flat cover Z → X as in (1.1). This is shown in ([19]). Remark 1.4. It is possible to prove that HomS(X ,Y) is an Artin stack under weaker assumptions on the diagonals of X and Y (though for the diagonal of HomS(X ,Y) to have reasonable properties the assumptions of (1.1) seem necessary). This has recently been shown by Aoki. Theorem 1.1 will be deduced from another result about pushforwards of stacks. Let S/S be a separated Artin stack locally of finite presentation and with finite diagonal. For any morphism of algebraic spaces f : S → T , define f∗S to be the fibered category over T which to any T ′/T associates the groupoid S(T ′ ×T S), with the natural notion of pullback. We call f∗S the restriction of scalars of S from S to T . Theorem 1.5. Let f : S → T be a proper, finitely presented, and flat morphism of algebraic spaces. Then the fibered category f∗S is an Artin stack locally of finite presentation over T 1