Marchenko–Pastur law with relaxed independence conditions
Marchenko–Pastur law with relaxed independence conditions
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DOI：
10.1142/s2010326321500404
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发表时间：
2019-12
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Jennifer Bryson;R. Vershynin;Hongkai Zhao
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Jennifer Bryson;R. Vershynin;Hongkai Zhao
我们在数据没有独立坐标的两种新情况下证明了 [公式：参见文本] 样本协方差矩阵的特征值的 Marchenko–Pastur 定律。在第一种情况下——块独立模型——数据的坐标被划分为块，不同块中的条目是独立的，但同一块中的条目可能是相关的。在第二种情况下——随机张量模型——数据是[公式：见文本]阶的齐次随机张量，即数据的坐标都是从一组[公式：见文本]独立随机变量中选择的[公式：见文本]变量的不同乘积。我们证明，只要最大块的大小为[公式：参见文本]，马尔琴科-巴斯图尔定律就适用于块独立模型，只要[公式：参见文本]，马尔琴科-巴斯德定律就适用于随机张量模型。我们的主要技术工具是具有块独立坐标的随机变量的二次形式和随机张量的新集中不等式。
We prove the Marchenko–Pastur law for the eigenvalues of [Formula: see text] sample covariance matrices in two new situations where the data does not have independent coordinates. In the first scenario — the block-independent model — the [Formula: see text] coordinates of the data are partitioned into blocks in such a way that the entries in different blocks are independent, but the entries from the same block may be dependent. In the second scenario — the random tensor model — the data is the homogeneous random tensor of order [Formula: see text], i.e. the coordinates of the data are all [Formula: see text] different products of [Formula: see text] variables chosen from a set of [Formula: see text] independent random variables. We show that Marchenko–Pastur law holds for the block-independent model as long as the size of the largest block is [Formula: see text], and for the random tensor model as long as [Formula: see text]. Our main technical tools are new concentration inequalities for quadratic forms in random variables with block-independent coordinates, and for random tensors.