Stark's conjecture for L-functions with first-order zeroes at s = 0
Stark's conjecture for L-functions with first-order zeroes at s = 0
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Stark 对 s = 0 处具有一阶零的 L 函数的猜想
DOI：
10.1016/0001-8708(83)90006-3
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发表时间：
1983
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
T. Chinburg
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
T. Chinburg
令 K 为 Q 的有限伽罗瓦扩展，群 G= Gal (K/Q)。令 V 为 G 的不可约复线性表示，令 L (s, V) 为 V 的 Artin L 函数。令 r (V) 为 L (s, v> 在 s= 0 时的消失阶。本文涉及当 r (V)= 1 且 V 的维度为 1 或 2 时，H. Stark ([17-201) 对 L’(0, V) 的猜想的变体。令 E 为 K 的单位群。定义 Y，为以 K 的无限位为基础的自由阿贝尔群。定义 X，为同态 4 的核：Y,+ Z，其中 4 (v)= 1，如果 u ES,。令]] I], 为 K 在位置 G' 的归一化绝对值。对于 EK 和 v ES,，让 G 作用于 S、X。定理表明，由 n (e)= C,, ESo log]] e] ll, v for e EE 引发的同态 il: C@ E,+ Cc OX 是一个 G 同构 Stark 猜想的一阶零情况特别令人感兴趣，因为人们可以推测性地（有时是可证明地）用 L (s, V) 的导数 L’(0, V) 表达特定单位 e EE 的 I (e)。在 s= 0 处。我们现在开发一个符号来表述这种猜想。令 S 为包含无限位置的 Q 的有限集合，令 V 表示对 (V, S)，如果 S= S' 且 Y 和 Y' 同构，则将识别两对 V=(V, 5’) 和 V’=(V’, S’)。 (1-Frob (p) p-’I V’p)-I 是 L (s, P’) 的 p 处的欧拉因子。 V 的字符将表示为 xv。定义prv= J&: ci~,-(g) g 和L,(s)= L (s, V) prv。令 L’(s, V) 为 L (s, V) 的导数，并令 L;(s)= L’(s, V) prv。
Let K be a finite Galois extension of Q with group G= Gal (K/Q). Let V be an irreducible complex linear representation of G, and let L (s, V) be the Artin L-function of V. Let r (V) be the order of vanishing of L (s, v> at s= 0. This paper concerns a variant of a conjecture of H. Stark ([17-201) on L’(0, V) when r (V)= 1 and V has dimension 1 or 2. Let E, be the group of units of K. Define Y, to be the free abelian group with basis the set S, of infinite places of K. Define X, to be the kernel of the homomorphism 4: Y,+ Z for which 4 (v)= 1 if u ES,. Let]] I],. be the normalized absolute value of K at the place G’. Let G act on S, X by defining 11 d/Igt,= 11 all,, for a EK and v ES,. The Dirichlet unit theorem shows that the homomorphism il: C@ E,+ Cc OX, induced by n (e)= C,, ESo log]] e] ll, v for e EE, is a G-isomorphism. The first-order zero case of Stark’s conjecture is of particular interest because one may conjecturally (and sometimes demonstrably) express I (e) for particular units e EE, in terms of derivatives L’(0, V) of L (s, V) at s= 0. We now develop a notation to state a conjecture of this kind.Let S be finite set of places of Q containing the infinite place. Let V denote the pair (V, S). Two pairs V=(V, 5’) and V’=(V’, S’) will be identified if S= S’and Y and Y’are isomorphic. Define L (s, V)= npes L,(s) where LJs)= det (1-Frob (p) p-’I V’p)-I is the Euler factor at p of L (s, P’). The character of V will be denoted xv. Define prv= J&: ci~,-(g) g and L,(s)= L (s, V) prv. Let L’(s, V) be the derivative of L (s, V), and let L;(s)= L’(s, V) prv.
Whittaker 向量的空间不可约性
DOI：
--
发表时间：
2007
期刊：
影响因子：
--
作者：
Ikehata;M and Ohe;T;松本久義
通讯作者：
松本久義