Polyhedra inscribed in a quadric
Polyhedra inscribed in a quadric
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内接于二次曲面的多面体
DOI：
10.1007/s00222-020-00948-9
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发表时间：
2020
影响因子：
3.1
通讯作者：
Schlenker, Jean-Marc
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Danciger, Jeffrey;Maloni, Sara;Schlenker, Jean-Marc
研究了内切于二次曲面的三维空间中的凸多面体。在射影变换中，有三个这样的曲面：球面、双曲面和圆柱面。我们的主要结果是，平面图形被实现为内接在双曲面或柱面上的多面体的1-骨架当且仅当且仅当IF被实现为内接在球面上的多面体的1-骨架，且存在哈密顿循环。这回答了斯坦纳在1832年提出的一个问题。Rivin通过研究双曲空间中理想多面体的几何，刻画了内嵌在球面上的凸多面体。在反de Sitter几何和半管几何中，我们通过对凸理想多面体空间的参数化来研究双曲面和柱面的情况。就像圆柱体可以被视为球面和双曲面的退化一样，半管几何自然是双曲几何和反德西特几何的极限。我们始终提倡以统一的观点来研究这三个案例。
We study convex polyhedra in three-space that are inscribed in a quadric surface. Up to projective transformations, there are three such surfaces: the sphere, the hyperboloid, and the cylinder. Our main result is that a planar graphis realized as the 1-skeleton of a polyhedron inscribed in the hyperboloid or cylinder if and only ifis realized as the 1-skeleton of a polyhedron inscribed in the sphere andadmits a Hamiltonian cycle. This answers a question asked by Steiner in 1832. Rivin characterized convex polyhedra inscribed in the sphere by studying the geometry of ideal polyhedra in hyperbolic space. We study the case of the hyperboloid and the cylinder by parameterizing the space of convex ideal polyhedra in anti-de Sitter geometry and in half-pipe geometry. Just as the cylinder can be seen as a degeneration of the sphere and the hyperboloid, half-pipe geometry is naturally a limit of both hyperbolic and anti-de Sitter geometry. We promote a unified point of view to the study of the three cases throughout.
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