On a problem of D. H. Lehmer
On a problem of D. H. Lehmer
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DOI：
10.1090/s0002-9939-06-08558-3
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发表时间：
2007-04
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
S. Louboutin;J. Rivat;A. Sárközy
中科院分区：
文献类型：
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作者：
S. Louboutin;J. Rivat;A. Sárközy
设 p 为奇素数。对于 n £ {1,...,p - 1}，我们用 n* 表示 n 模 p 的倒数，其中 n* ∈ {1,...,p - 1}。给定 e > 0，我们证明在任何范围 n ∈ {N + 1,..., N + L} C {1,...,p - 1} 长度 L > p 1/2+e 时，n* 与 n 具有相同奇偶性的概率趋向于 1/2，因为 p -> +∞。之前已知该结果仅在长度 L = p - 1 的整个范围 n ∈ {1,...,p-1} 中成立。我们还将获得序列 (-1) n+n* 伪随机性的定量结果，我们估计 Mauduit 和 Sarkozy (1997) 定义的良好分布 W 和相关性度量 C k。
Let p be an odd prime number. For n £ {1,...,p - 1} we denote the inverse of n modulo p by n* with n* ∈ {1,...,p - 1}. Given e > 0, we prove that in any range n ∈ {N + 1,..., N + L} C {1,...,p - 1} of length L > p 1/2+e the probability that n* has the same parity as n tends to 1/2 as p -> +∞. This result was previously known only to hold true in the full range n ∈ {1,...,p-1} of length L = p - 1. We will also obtain quantitative results on the pseudorandomness of the sequence (-1) n+n* for which we estimate the well-distribution W and correlation measures C k as defined by Mauduit and Sarkozy (1997).