Stability related to the Lp$L_p$ Busemann–Petty problem
Stability related to the Lp$L_p$ Busemann–Petty problem
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DOI：
10.1002/mana.202200491
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发表时间：
2023-06
影响因子：
1
通讯作者：
Tian Li;Baocheng Zhu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Tian Li;Baocheng Zhu
00$\varepsilon >0$ 的 Lp$L_p$ Busemann–Petty 问题足够小，如果 K 是 Lp$L_p$ 交集体且 L 是星体，使得对于任何 u∈Sn−1$u\in S^{n-1}$ ，有以下不等式： ∥u∥IpK−p≤∥u∥IpL−p+ε$$\begin{equation*} \Vert u\Vert _{I_pK}^{-p}\le \Vert u\Vert _{I_pL}^{-p}+\varepsilon \end{方程*}$$意味着 V(K)n−pn≤V(L)n−pn+Cε,$$\begin{方程*} V(K)^{\frac{n-p}{n}}\le V(L)^{\frac{n-p}{n}}+C\varepsilon , \end{equation*}$$其中 ∥·∥IpK$\Vert \cdot \Vert _{I_pK}$ 是 IpK$I_pK$ 的明可夫斯基泛函，C 是仅取决于 p 和 n 的正数。此外，我们还证明了 Lp$L_p$ Busemann-Petty 问题的否定答案的线性稳定性和分离结果。
The Lp$L_p$ Busemann–Petty problem for 00$\varepsilon >0$ small enough, if K is an Lp$L_p$ intersection body and L is a star body such that for any u∈Sn−1$u\in S^{n-1}$ , the following inequality: ∥u∥IpK−p≤∥u∥IpL−p+ε$$\begin{equation*} \Vert u\Vert _{I_pK}^{-p}\le \Vert u\Vert _{I_pL}^{-p}+\varepsilon \end{equation*}$$implies V(K)n−pn≤V(L)n−pn+Cε,$$\begin{equation*} V(K)^{\frac{n-p}{n}}\le V(L)^{\frac{n-p}{n}}+C\varepsilon , \end{equation*}$$where ∥·∥IpK$\Vert \cdot \Vert _{I_pK}$ is the Minkowski functional of IpK$I_pK$ , and C is a positive number depending only on p and n. Moreover, we also prove the linear stability and separation results for the negative answer of the Lp$L_p$ Busemann–Petty problem.