The Spherical Harmonic Spectrum of a Function with Algebraic Singularities
The Spherical Harmonic Spectrum of a Function with Algebraic Singularities
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具有代数奇点的函数的球调和谱
DOI：
10.1007/s00041-012-9236-3
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发表时间：
2012
影响因子：
1.2
通讯作者：
Livermore P
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Livermore P
函数的谱系数的渐近行为提供了其光滑性的有用诊断。在球面上，我们考虑一个函数的完全正规化球谐函数的系数，该函数是光滑的，除了在余纬度的一点或一条线上，在该点或线上它有一个代数奇点，其形式为θpor| θ−θ0|其中θ是同纬度，p>-1。证明了每种类型的奇点在旋转不变能谱上都有一个签名，其中的andmare分别是l −（p+3/2）或l −（p+1）的球谐次数和阶数.这个结果被推广到任意方向的任意多个点或（可能相交的）线奇点的集合：在这种情况下，证明了E（l）的整体行为受最严重奇点的控制。数值例子来说明结果。我们讨论了广义的奇点线上的余纬的球面上的任何封闭的曲线。
The asymptotic behaviour of the spectral coefficients of a function provides a useful diagnostic of its smoothness. On a spherical surface, we consider the coefficientsof fully normalised spherical harmonics of a function that is smooth except either at a point or on a line of colatitude, at which it has an algebraic singularity taking the formθpor |θ−θ0|prespectively, whereθis the co-latitude andp>−1. It is proven that each type of singularity has a signature on the rotationally invariant energy spectrum,wherelandmare the spherical harmonic degree and order, ofl−(p+3/2)orl−(p+1)respectively. This result is extended to any collection of finitely many point or (possibly intersecting) line singularities of arbitrary orientation: in such a case, it is shown that the overall behaviour ofE(l) is controlled by the gravest singularity. Several numerical examples are presented to illustrate the results. We discuss the generalisation of singularities on lines of colatitude to those on any closed curve on a spherical surface.
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