Polynomial Chaos Expansion of Random Coefficients and the Solution of Stochastic Partial Differential Equations in the Tensor Train Format
Polynomial Chaos Expansion of Random Coefficients and the Solution of Stochastic Partial Differential Equations in the Tensor Train Format
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随机系数的多项式混沌展开与张量序列形式的随机偏微分方程的解
DOI：
10.1137/140972536
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
H. G. Matthies
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
S. Dolgov;B. N. Khoromskij;A. Litvinenko;H. G. Matthies
应用张量序列（TT）分解构造随机场的张量积多项式混沌展开（PCE），用随机伽辽金离散法求解随机椭圆扩散PDE，并计算一些感兴趣的量（均值、方差和超越概率）。我们假设随机扩散系数是一个高斯随机场的光滑变换。在这种情况下，PCE是由一个复杂的公式传递的，该公式缺乏解析的TT表示。为了在数值上构造它的TT近似，我们开发了新的块TT交叉算法，一种从PCE公式的几个评估中计算整个TT分解的方法。新方法在概念上类似于TT格式的自适应交叉逼近，但当必须将多个张量存储在相同的TT表示中（这是PCE的情况）时效率更高。此外，我们演示了如何组装随机伽辽金矩阵并计算椭圆方程的解及其后处理，保持在TT格式。我们将该方法与传统的稀疏多项式混沌和蒙特卡罗方法进行了比较。在张量积多项式混沌中，每个随机变量的多项式度是独立有界的。这提供了比稀疏多项式集或蒙特卡罗方法更高的精度，但是张量积集的基数随着随机变量的数量呈指数增长。然而，当PCE系数以TT格式隐式逼近时，使用全张量积多项式集进行计算成为可能。在数值实验中，我们证实了新方法在广泛的参数范围内具有竞争力，特别是在需要高精度和高多项式度的情况下。
We apply the tensor train (TT) decomposition to construct the tensor product polynomial chaos expansion (PCE) of a random field, to solve the stochastic elliptic diffusion PDE with the stochastic Galerkin discretization, and to compute some quantities of interest (mean, variance, and exceedance probabilities). We assume that the random diffusion coefficient is given as a smooth transformation of a Gaussian random field. In this case, the PCE is delivered by a complicated formula, which lacks an analytic TT representation. To construct its TT approximation numerically, we develop the new block TT cross algorithm, a method that computes the whole TT decomposition from a few evaluations of the PCE formula. The new method is conceptually similar to the adaptive cross approximation in the TT format but is more efficient when several tensors must be stored in the same TT representation, which is the case for the PCE. In addition, we demonstrate how to assemble the stochastic Galerkin matrix and to compute the solution of the elliptic equation and its postprocessing, staying in the TT format. We compare our technique with the traditional sparse polynomial chaos and the Monte Carlo approaches. In the tensor product polynomial chaos, the polynomial degree is bounded for each random variable independently. This provides higher accuracy than the sparse polynomial set or the Monte Carlo method, but the cardinality of the tensor product set grows exponentially with the number of random variables. However, when the PCE coefficients are implicitly approximated in the TT format, the computations with the full tensor product polynomial set become possible. In the numerical experiments, we confirm that the new methodology is competitive in a wide range of parameters, especially where high accuracy and high polynomial degrees are required.
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DOI：
10.1016/j.cpc.2013.12.017
发表时间：
2013-06
期刊：
Comput. Phys. Commun.
影响因子：
--
作者：
S. Dolgov;B. Khoromskij;I. Oseledets;D. Savostyanov
通讯作者：
S. Dolgov;B. Khoromskij;I. Oseledets;D. Savostyanov
DOI：
10.1016/j.cpc.2014.08.015
发表时间：
2014-05
期刊：
Comput. Phys. Commun.
影响因子：
--
作者：
V. Khoromskaia;B. Khoromskij
通讯作者：
V. Khoromskaia;B. Khoromskij
不确定性量化的光谱方法
DOI：
--
发表时间：
2013
期刊：
影响因子：
--
作者：
C. Brams
通讯作者：
C. Brams
DOI：
10.1137/110836675
发表时间：
2012-04
期刊：
SIAM J. Sci. Comput.
影响因子：
--
作者：
E. Ullmann;H. Elman;O. Ernst
通讯作者：
E. Ullmann;H. Elman;O. Ernst
影响因子：
1.1
作者：
D. Savostyanov
通讯作者：
D. Savostyanov