On the Quantum SU ( 2 ) Invariant at q = exp ( 4 π √ − 1 / N ) and the Twisted Reidemeister Torsion for Some Closed 3-Manifolds
On the Quantum SU ( 2 ) Invariant at q = exp ( 4 π √ − 1 / N ) and the Twisted Reidemeister Torsion for Some Closed 3-Manifolds
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关于 q = exp ( 4 π √ − 1 / N ) 处的量子 SU ( 2 ) 不变量和某些闭 3 流形的扭曲 Reidemeister 扭转
DOI：
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
T. Takata
中科院分区：
文献类型：
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作者：
T. Ohtsuki;T. Takata
Chern-Simons路径积分的微扰展开预言了三维流形量子不变量的渐近展开式。当Q=exp(2π√−1/N)时，已有一些研究表明，量子SU(2)不变量的渐近展开式是由系数为Reidomeister挠率平方根的SU(2)平坦联络的贡献和表示的。当Q=EXP(4π√−1/N)时，最近有人猜想，闭双曲三维流形M的量子SU(2)不变量是N的指数级，其增长由M的复体积给出。第一作者在以前的工作中证明了这一猜想对由S3沿8字结的p运算得到的双曲3-流形MP成立。从物理观点来看，当Q=EXP(4π√−1/N)时，我们使用(形式)鞍点方法，而当Q=EXP(2π√−1/N)时，我们使用驻相法，这两种方法给出了与数学观点完全不同的结果。在本文中，我们证明了在Q=exp(4π√−1/N)时，在MP的量子SU(2)不变量的渐近展开式的半经典近似中，Reidemister挠率的平方根表现为一个系数。进一步地，当Q=EXP(4π√−1/N)时，我们证明了某些Seifert3-流形M的量子SU(2)不变量的渐近展开式的半经典近似是由M上的一些SL2C平坦联络的贡献之和表示的，并且Reidomeister挠率的平方根是这些贡献的系数.
The perturbative expansion of the Chern–Simons path integral predicts a formula of the asymptotic expansion of the quantum invariant of a 3-manifold. When q = exp(2π√−1/N ), there have been some researches where the asymptotic expansion of the quantum SU(2) invariant is presented by a sum of contributions from SU(2) flat connections whose coefficients are square roots of the Reidemeister torsions. When q = exp(4π√−1/N ), it is conjectured recently that the quantum SU(2) invariant of a closed hyperbolic 3-manifold M is of exponential order of N whose growth is given by the complex volume of M . The first author showed in the previous work that this conjecture holds for the hyperbolic 3-manifold Mp obtained from S3 by p surgery along the figure-eight knot. From the physical viewpoint, we use the (formal) saddle point method when q = exp(4π√−1/N ), while we have used the stationary phase methodwhen q = exp(2π√−1/N ), and these twomethods give quite different resulting formulas from themathematical viewpoint. In this paper,we show that a square root of the Reidemeister torsion appears as a coefficient in the semi-classical approximation of the asymptotic expansion of the quantum SU(2) invariant of Mp at q = exp(4π √−1/N ). Further, when q = exp(4π√−1/N ), we show that the semi-classical approximation of the asymptotic expansion of the quantum SU(2) invariant of some Seifert 3-manifolds M is presented by a sum of contributions from some of SL2C flat connections on M , and square roots of the Reidemeister torsions appear as coefficients of such contributions.
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