On the Korteweg–de Vries Equation: Convergent Birkhoff Normal Form
On the Korteweg–de Vries Equation: Convergent Birkhoff Normal Form
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DOI：
10.1006/jfan.1996.0111
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发表时间：
1996-09
影响因子：
1.7
通讯作者：
D. Bättig;T. Kappeler;B. Mityagin
中科院分区：
文献类型：
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作者：
D. Bättig;T. Kappeler;B. Mityagin
Korteweg-de弗里斯方程（KdV）是一个完全可积的无穷维Hamilton系统，其相空间为Sobolev空间HN（S1; R），（N ≠ 1），Hamilton量H（q）：=<$S1（1 2（<$xq（x））2+q（x）3）dx，Poisson结构为<$/<$x。函数q ≠ 0是一个椭圆不动点。我们证明了对于任意N ≠ 1，Korteweg-de弗里斯方程（以及整个KdV-族）允许全局定义的真实的解析作用角变量.因此，在H1（S1; R）中q = 0的邻域中，KdV-哈密尔顿算子H（以及类似的KdV-族中的任何哈密尔顿算子）具有收敛的Birkhoff标准形;据我们所知，这是无限维中的第一个这样的例子。利用构造的作用角变量，我们分析了KdV的Hamilton向量场的正则性。
Abstract The Korteweg–de Vries equation (KdV)[formula]is a completely integrable Hamiltonian system of infinite dimension with phase space the Sobolev spaceHN(S1; R ), (N⩾1), Hamiltonian H (q):=∫S1( 1 2 (∂xq(x))2+q(x)3) dx, and Poisson structure ∂/∂x. The functionq≡0 is an elliptic fixed point. We prove that for anyN⩾1, the Korteweg–de Vries equation (and thus the entire KdV-hierarchy) admits globally defined real analytic action-angle variables. As a consequence it follows that in a neighborhood ofq≡0 inH1(S1; R ), the KdV-Hamiltonian H (and similarly any Hamiltonian in the KdV-hierarchy) admits a convergent Birkhoff normal form; to the best of our knowledge this is the first such example in infinite dimension. Moreover, using the constructed action-angle variables, we analyze the regularity properties of the Hamiltonian vectorfield of KdV.