On the spatial extent of localized eigenfunctions for random Schrödinger operators
On the spatial extent of localized eigenfunctions for random Schrödinger operators
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关于随机薛定谔算子的局域本征函数的空间范围
DOI：
10.1007/s00220-022-04419-5
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发表时间：
2022
影响因子：
2.4
通讯作者：
Schenker, Jeffrey
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Klopp, Frédéric;Schenker, Jeffrey
考虑一个归一化函数，它以至少一个速率指数衰减。我们可以定义的起始长度（指数衰减）为最小球的半径，比如说，B，这样我们就有了下面的全局边界。本文研究随机薛定谔算子局部化本征函数的起始长度。在适当的假设下，我们证明了在概率为1的情况下，在半径为L的球中，起始长度大于且局部化中心的局部化区域中的本征函数的数目小于，对于大的（对于某些常数）.因此，大多数本征函数局部化在小尺寸球上，与系统尺寸无关，这是物理学家对局部化的理解;据我们所知，这不是由现有的数学估计产生的。对于能量的边缘附近的频谱，我们也提供了一个下界的相同类型的本征函数的数量;在1维，上限和下限只有不同的对数校正。最后，我们给出了一些数值结果，证明了产生大的起始长度的情况，证实了我们的主要结果的有效性，并表明，到低阶项，上述定义的起始长度的累积分布显示出渐近指数衰减在一定的速度。
On, consider, an-normalized function that decays exponentially atat a rate at least. One can define theonset length(of the exponential decay) ofas the radius of the smallest ball, say,B, such that one has the following global bound. The present paper is devoted to the study of the onset lengths of the localized eigenfunctions of random Schrödinger operators. Under suitable assumptions, we prove that, with probability one, the number of eigenfunctions in the localization regime having onset length larger thanand localization center in a ball of radiusLis smaller than, forlarge (for some constants). Thus, most eigenfunctions localize on small size balls independent of the system size which is the physicists understanding of localization; to our knowledge, this did not result from existing mathematical estimates. For energies near the edge of the spectrum, we also provide a lower bound of the same type on the number of those eigenfunctions; in dimension 1, the upper and lower bounds only differ by a logarithmic correction. Finally, we give a number of numerical results that exemplify situations giving rise to large onset lengths, that corroborate the validity of our main result and that suggest that, up to lower order terms, the above defined cumulative distribution of onset lengths shows asymptotic exponential decay at some definite rate.
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