Effective Density for Inhomogeneous Quadratic Forms I: Generic Forms and Fixed Shifts
Effective Density for Inhomogeneous Quadratic Forms I: Generic Forms and Fixed Shifts
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DOI：
10.1093/imrn/rnaa206
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发表时间：
2019-11
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Anish Ghosh;Dubi Kelmer;Shucheng Yu
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Anish Ghosh;Dubi Kelmer;Shucheng Yu
我们建立有效版本的一般非齐次二次型的奥本海默猜想。我们证明了这样的结果固定的移位向量和一般的二次型。当移位是合理的，我们证明了一个计数结果，这意味着一般的非齐次形式的值的最佳密度。对于固定的无理移位，我们也得到了一个类似的密度结果，满足一个明确的丢番图条件。主要的技术工具是Siegel变换在$\operatorname{SL}_n（\mathbb{R}）$的某些同余式上的二阶矩的公式，我们相信这是独立的兴趣。在续集中，我们使用不同的技术来处理同伴问题的一般移位和固定的二次型。
We establish effective versions of Oppenheim's conjecture for generic inhomogeneous quadratic forms. We prove such results for fixed shift vectors and generic quadratic forms. When the shift is rational we prove a counting result which implies the optimal density for values of generic inhomogeneous forms. We also obtain a similar density result for fixed irrational shifts satisfying an explicit Diophantine condition. The main technical tool is a formula for the second moment of Siegel transforms on certain congruence quotients of $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ which we believe to be of independent interest. In a sequel, we use different techniques to treat the companion problem concerning generic shifts and fixed quadratic forms.