Automorphism groups of dense subgroups of R^n
Automorphism groups of dense subgroups of R^n
复制标题
R^n 的稠密子群的自同构群
DOI：
10.1016/j.topol.2019.107000
复制
发表时间：
2020
影响因子：
0.6
通讯作者：
Dmitri B.Shakhmatov
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Vitalij A.Chatyrko;Dmitri B.Shakhmatov
我们所说的拓扑群G的自同构是指G对自身的同构，这也是一个同胚。本文研究了rn， n≥1的稠密子群G的自同构群Aut (G)。我们证明了Aut (G)可以自然地识别为所有实系数非简并(nx n)-矩阵的G L （n， R）群的G L （n， R）群的Φ (G)={A∈G L (n， R): G⋅A= G}，其中G⋅A={G⋅A: G∈G}。我们描述了R或r2的许多密集子群G的Φ (G)。我们还考虑了一个逆问题，其中对于rn的某些密集子群G， G L （n， R）的对称子群可以实现为Φ (G)。对于n≥2，我们证明了G L （n， R）的任何子群H满足S O (n， R)≠G L （n， R）都不能以这种方式实现。（其中S O （n， R）表示维数为n的特殊正交群。）即使在一维情况下，实现问题也是非常重要的，并且与数论有着深刻的联系。
By an automorphism of a topological group G we mean an isomorphism of G onto itself which is also a homeomorphism. In this article, we study the automorphism group Aut (G) of a dense subgroup G of R n, n≥ 1. We show that Aut (G) can be naturally identified with the subgroup Φ (G)={A∈ G L (n, R): G⋅ A= G} of the group G L (n, R) of all non-degenerated (n× n)-matrices with real coefficients, where G⋅ A={g⋅ A: g∈ G}. We describe Φ (G) for many dense subgroups G of either R or R 2. We consider also an inverse problem of which symmetric subgroups of G L (n, R) can be realized as Φ (G) for some dense subgroup G of R n. For n≥ 2, we show that any subgroup H of G L (n, R) satisfying S O (n, R)⊆ H⊊ G L (n, R) cannot be realized in this way.(Here S O (n, R) denotes the special orthogonal group of dimension n.) The realization problem is quite non-trivial even in the one-dimensional case and has deep connections to number theory.