Another proof of M. Kontsevich formality theorem
Another proof of M. Kontsevich formality theorem
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M. Kontsevich 形式定理的另一个证明
DOI：
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发表时间：
1998
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
D. Tamarkin
中科院分区：
文献类型：
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作者：
D. Tamarkin
这是一份论文草案，我们在其中宣布了 M 的替代证明的计划。 Kontsevich 形式定理 [7]。其基本思想是为联想代数A的Hochschild上链配备同位格斯顿哈伯代数的结构，并证明该格斯顿哈伯代数的形式性。参见[2]。大约一年前，鲍里斯·齐根 (Boris Tsygan) 向作者讲述了这个想法。在 A = SR ;C 1 (R ) 的情况下，形式上的同源障碍消失了。换句话说，由霍克希尔德上同论形成的格尔斯滕哈伯代数是不可变形的。支配格尔斯滕哈伯代数的运算 e2 是科祖尔，因此它有一个规范的分辨率，我们用 H E2 表示。结合代数的 Hochschild 上链在运算 B1 上具有代数的规范结构（参见 [3] 和第 2.1.5 节），并且足以构造映射 H E 2 ！ B1。这样的映射必须导出 Hochschild 上同调上的 Gerstenhaber 代数的正确结构以及 Hochschild 上链上的正确的 Gerstenhaber 括号。这些条件在定理 2.1 以及第 2.2.3 节和 3 M 节中得到了形式化。Kontsevich 定理是从定理 2.1 推导出来的。在第 4 节中，我们构造定理 4.2 并证明它适用于定理 2.1。本文的其余部分致力于证明这个定理。在第 5 节中，我们构建了一个映射 k :B1 ！ e2。这种映射的存在（满足定理 4.2 的条件 1）是双代数量化的 Etingof-Kazhdan 定理的直接推论。在第 6 节中，我们构造操作数 F 。如果我们知道 B1 的同源操作是 2，我们可以取 F = B1 。让我们概述一下构建 F 的主要步骤。假设我们有一个属于带有 counit 的 dg-coalgebras 类别的操作数 X（前文 pletheasym m etricoperad As 来自第 6.1.6 节）和一个带有 counitW 的 dgcoalgebra 。然后我们可以定义 W 上的 X 代数的概念。这与通常运算的情况相同，但此外我们要求所有结构映射都是余代数态。然后我们考虑当 W 是一个分级余代数时的情况，即 W = TV ，并且我们证明在这种情况下 X 代数 W 由操作集合 TV 决定！ V 并且这些操作之间的关系由某个 dg 操作来描述，我们用 O (X ) 表示。
Thisisadraftofpaperin which weannounceaplan ofan alternativeproofofM . Kontsevich form ality theorem [7]. The basic idea is to equip Hochschild cochains ofan associativealgebra A with a structureofhom otopy Gerstenhaberalgebra and to prove the form ality ofthisGerstenhaberalgebra. See [2]. The authorwastold aboutthisidea by BorisTsygan abouta yearago. The hom ologicalobstructionsto form ality vanish in thecaseA = SR ;C 1 (R ). In otherwords,theGerstenhaberalgebrasform ed byHochschild cohom ologyarenot deform able.The operad e2 governing GerstenhaberalgebrasisKoszul,therefore it has a canonicalresolution which we denote by H E2. The Hochschild cochains of an associativealgebra havea canonicalstructureofan algebra overtheoperad B1 (see [3]and section 2.1.5),and itsu ces to constructa m ap H E 2 ! B1 . Such a m ap m ustinduce the correctstructure ofGerstenhaberalgebra on the Hochschild cohom ology and the correctGerstenhaber bracket on Hochschild cochains. These conditionsareform alized in Theorem 2.1,and in thesections2.2.3 and 3 M .Kontsevich’stheorem isdeduced from Theorem 2.1. In thesection 4 weform ulateTheorem 4.2 and show thatitim pliesTheorem 2.1. Therestofthepaperisdevoted to theproofofthistheorem . In section 5 we construct a m ap k :B1 ! e2. The existence ofsuch a m ap (satisfying thecondition 1 ofTheorem 4.2)isa directcorollary ofEtingof-Kazhdan theorem on quantization ofbialgebras. In section 6 we construct the operad F . Ifwe new that the hom ology operad ofB1 ise2 we could take F = B1 . Letusoutline the m ain stepsofconstruction ofF . Suppose we have an operad X in the category ofdg-coalgebraswith counit (forexam pletheasym m etricoperad Asfrom section 6.1.6)and a dgcoalgebra with counitW . Then we can de ne a notion ofan X -algebra on W . Itisthe sam e as in the case ofusualoperads,butin addition we require thatallstructure m apsbe coalgebra m orphism s. Then we consider the case when W is cofree as a graded coalgebra,thatisW = TV ,and we prove thatin this case X -algebrason W are determ ined by a collection ofoperationsTV ! V and thatthe relationsbetween these operationsare described by a certain dg-operad,which we denote by O (X ).