Problème de Minkowski et surfaces à courbure constante dans les variétés hyperboliques
Problème de Minkowski et surfaces à courbure constante dans les variétés hyperboliques
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闵可夫斯基问题在各种双曲线中不断显现
DOI：
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发表时间：
1991
期刊：
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通讯作者：
F. Labourie
中科院分区：
文献类型：
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作者：
F. Labourie
-在本文中，我们证明了Minkowski问题在双曲3-流形中，当曲率在- 1和0之间时，允许一个解。因此，我们证明了在任意双曲流形中凸壳的补的常高斯曲率曲面的叶化。这允许我们将任意具有恒定高斯曲率的度规作为某些双曲流形的凸边界。Dans ' lecas ' d 'une曲面凸出紧致凸块R， l 'application de Gauss est on同胚中心凸出凸块和球面统一。一个曲面的凸性是欧几里得空间，一个函数的凸性是球面的凸性，一个函数的凸性是曲面的凸性是高斯的应用。闵可夫斯基的问题与欧几里得空间的关系：球面上的函数与球面上的函数的关系？表面关联关系是闵可夫斯基问题的解决方案。一个问题只有一个解决方案，它不会既简单又优雅（[N] et dans un autre cadre [Po]）：定理（NIRENBERG， ALEXANDROV， POGORELOV）。-是否存在一个Minkowski问题的曲面凸解和一个函数k（*）本文于1990年6月20日提出。F. LABOURIE，法国巴黎综合理工大学数学研究中心，法国Cedex宫91128法国数学协会公报0037-9484/1991/307 /$ 5.00 c©法国数学协会
— In this paper, we show that Minkowski’s problem admits a solution in hyperbolic 3-manifolds when one prescribes the curvature to be between −1 and 0. As a consequence we exhibit a foliation by surfaces of constant Gaussian curvature of the complementary of the convex hull in any hyperbolic manifold. This allows us to realise any metric of constant Gaussian curvature as the convex boundary of some hyperbolic manifold. Dans le cas d’une surface convexe compacte dans R, l’application de Gauss est un homeomorphisme entre cette surface convexe et la sphere unite. A une surface convexe dans l’espace euclidien, on peut alors associer une fonction sur la sphere unite, a savoir la fonction induite de la fonction courbure sur la surface par l’application de Gauss. Le probleme de Minkowski dans l’espace euclidien s’enonce ainsi : quelles sont les fonctions sur la sphere obtenues ainsi ? La surface associee sera alors appelee solution du probleme de Minkowski. Ce probleme a une solution dont l’enonce est simple et elegant ([N] et dans un autre cadre [Po]) : THEOREME (NIRENBERG, ALEXANDROV, POGORELOV). — Il existe une surface convexe solution du probleme de Minkowski pour une fonction k (*) Texte recu le 20 juin 1990. F. LABOURIE, Centre de Mathematiques, URA au CNRS D.0169, Ecole Polytechnique, Palaiseau Cedex 91128, France. BULLETIN DE LA SOCIETE MATHEMATIQUE DE FRANCE 0037–9484/1991/307/$ 5.00 c © Societe mathematique de France