Approximations in $$L^1$$ with convergent Fourier series
Approximations in $$L^1$$ with convergent Fourier series
复制标题
具有收敛傅里叶级数的 $$L^1$$ 近似值
DOI：
--
复制
发表时间：
2018
影响因子：
0.8
通讯作者：
Michael Ruzhansky
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Zh. Avetisyan;M. Grigoryan;Michael Ruzhansky
<jats:p>对于可分离有限扩散测度空间<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$${mathcal {M}}$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mi>M</mml:mi>
</ html:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$${varphi _n}$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>φ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>}</mml:mo>
</mml:mrow>
</ html:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> <jats:alternatives><jats: text -math>$$L^2({mathcal {M}})$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml：打开>
</mml:mo> . </mml:mo> .
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</ html:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$$varphi _nin L^infty ({mathcal {M}})$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:msub>
<mml:mi>φ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml：打开>
</mml:mo> . </mml:mo> .
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</ ml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>，我们找到了一个可测量的子集<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$$Esubset {mathcal {M}}$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mi>E</mml:mi>
</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
</ html:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$$|{mathcal {M}}{setminus } E|<epsilon $$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo></mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mo><</mml:mo>
★★★★★★★★★★★★★★★
</mml:mrow>
</ ml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>，使得每个可测量函数<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$$fin L^1({mathcal {M}})$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml：打开>
</mml:mo> . </mml:mo> .
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</ html:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>有一个近似的<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>$$gin L^1({mathcal {M}})$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml：打开>
</mml:mo> . </mml:mo> .
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</ html:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> <jats:alternatives><jats: alternatives><jats: text -math>$$g=f$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>f</mml:mi>
</mml:mrow>
</ ml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> on <jats:italic>E</jats:italic>和<jats:italic>g</jats:italic>收敛为<jats:italic>g</jats:italic>，以及其他一些属性。子集<jats:italic>E</jats:italic>是通用的，因为它不依赖于要近似的函数<jats:italic>f</jats:italic>。进一步在本文中，该结果适用于<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats: text -math>的情况$${mathcal {M}}=G/H$$</jats: text -math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml：打开>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mi>H</mml:mi>
</mml:mrow>
</ ml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>是无限紧第二可数Hausdorff群的齐次空间。作为一个有用的例子，讨论了具有球谐波的<jats:italic>和</jats:italic>-球的情况。在论文的最后简要地描述了子集<jats:italic>E</jats:italic>和近似子集<jats:italic>g</jats:italic>的构造
<jats:p>For a separable finite diffuse measure space <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${mathcal {M}}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and an orthonormal basis <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${varphi _n}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:msub>
<mml:mi>φ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>}</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$L^2({mathcal {M}})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> consisting of bounded functions <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$varphi _nin L^infty ({mathcal {M}})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:msub>
<mml:mi>φ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, we find a measurable subset <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$Esubset {mathcal {M}}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mo>⊂</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> of arbitrarily small complement <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$|{mathcal {M}}{setminus } E|<epsilon $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo></mml:mo>
<mml:mi>E</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>ϵ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, such that every measurable function <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$fin L^1({mathcal {M}})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> has an approximant <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$gin L^1({mathcal {M}})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:msup>
<mml:mi>L</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow>
<mml:mo>(</mml:mo>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> with <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$g=f$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>f</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> on <jats:italic>E</jats:italic> and the Fourier series of <jats:italic>g</jats:italic> converges to <jats:italic>g</jats:italic>, and a few further properties. The subset <jats:italic>E</jats:italic> is universal in the sense that it does not depend on the function <jats:italic>f</jats:italic> to be approximated. Further in the paper this result is adapted to the case of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$${mathcal {M}}=G/H$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
<mml:mrow>
<mml:mi>M</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mi>H</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> being a homogeneous space of an infinite compact second countable Hausdorff group. As a useful illustration the case of <jats:italic>n</jats:italic>-spheres with spherical harmonics is discussed. The construction of the subset <jats:italic>E</jats:italic> and approximant <jats:italic>g</jats:italic> is sketched briefly at the end of the paper.</jats:p>