On Embeddings between Bv and W
On Embeddings between Bv and W
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关于 Bv 和 W 之间的嵌入
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期刊：
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通讯作者：
Kuk Bv
中科院分区：
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作者：
B. J. Schmitt;M. Winkler;R. Aachen;Kuk Bv
令 R N 为非空开集。函数 u 2 L 1 (() 属于 BV (() ii ，其导数 Du （在分布意义上）是具有有限总变差的（向量值）氡测量。因此，BV (() 是 W 1;1 (() 的规范扩展，或者反之亦然，W 1;1 (() 连续嵌入到 BV (() 中。事实上，我们有 (1) 参见第 4 节，第 4 节）） 5.1]。扩展 W 1;1 (() 的另一种方法在于降低导数的阶数并考虑分数阶 Sobolev 空间（也称为 Sobolev-Slobodeckii 空间）W s;p ((), s 2 (0; 1) 和某些 p 2 1; 1)（参见 2，第 6.8 节]）。因此，人们可能会问，对于 s 和 p 的适当选择，是否存在一个 BV (() 和 W s;p (() 之间的关系，即一个空间包含另一个空间。在第 1 节中，我们将证明放宽微分阶总是会产生空间 W s;p (() 太大而无法位于 BV (() 中，而第 2 节将表明，另一方面，尽管比 W 1;1 (() 大得多，但如果只有 W 1;1，BV (() 已经嵌入到 W s;p (() 中） (() 做。
Let R N be a nonempty open set. A function u 2 L 1 (() belongs to BV (() ii its derivative Du (in the sense of distributions) is a (vector-valued) Radon measure on with nite total variation. BV (() therefore is a canonical extension of W 1;1 ((), or, vice versa, W 1;1 (() is embedded continuously into BV ((). In fact we have (1) cf. 4, sect. 5.1]. A diierent way of extending W 1;1 (() consists in decreasing the order of derivatives and considering fractional order Sobolev spaces (also known as Sobolev-Slobodeckii spaces) W s;p ((), s 2 (0; 1) and certain p 2 1; 1) (cf. 2, sect. 6.8]). Therefore one might ask whether there is, for suitable choices of s and p, a relationship between BV (() and W s;p (() in the sense that one space contains the other. In Section 1 we shall demonstrate that relaxing the diierential order always produces spaces W s;p (() being too large to lie in BV ((), while Section 2 will show that on the other hand, though being considerably larger than W 1;1 ((), BV (() already embeds into W s;p (() if only W 1;1 (() does.