GCD and LCM-like identities for ideals in commutative rings
GCD and LCM-like identities for ideals in commutative rings
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交换环中理想的 GCD 和类 LCM 恒等式
DOI：
10.1142/s0219498816500109
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发表时间：
2015
影响因子：
0.8
通讯作者：
Yasuo Ohno and Manabu Ozaki
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Daniel D. Anderson;Shuzo Izumi;Yasuo Ohno and Manabu Ozaki
设A1，…，An（n ≥ 2）是交换环R的理想.设G（k）（分别，L（k））表示所有和（分别，k个理想的交集）。然后我们有$$L（n）G（2）G（4）\cdots G（2\lfloor n/2\rfloor）\subseteq G（1）G（3）\cdots G（2\lceil n/2 \rceil -1）。$$在R是算术环的情况下，我们有等式。在R是Prüfer环的情况下，等式成立，如果至少n - 1个理想A1，.，Ana是正则的。在这两种情况下，我们也有$$G（n）L（2）L（4）\cdots L（2\lfloor n/2 \rfloor）= L（1）L（3）\cdots L（2\lceil n/2 \rceil -1）。$$给出了Prüfer v-乘法整环的相关等式，并给出了推广gcd（a1，a2）lcm（a1，a2）= a1 a2的GCD整环中GCD与LCM的关系公式.
Let A1,…,An(n ≥ 2) be ideals of a commutative ring R. Let G(k) (resp., L(k)) denote the product of all the sums (resp., intersections) of k of the ideals. Then we have $$L(n)G(2)G(4)\cdots G(2\lfloor n/2\rfloor ) \subseteq G(1)G(3)\cdots G(2\lceil n/2 \rceil -1).$$ In the case R is an arithmetical ring we have equality. In the case R is a Prüfer ring, the equality holds if at least n - 1 of the ideals A1,…,Anare regular. In these two cases we also have $$G(n)L(2)L(4)\cdots L(2\lfloor n/2 \rfloor ) = L(1)L(3)\cdots L(2\lceil n/2 \rceil -1).$$ Related equalities are given for Prüfer v-multiplication domains and formulas relating GCD's and LCM's in a GCD domain generalizing gcd(a1, a2)lcm(a1, a2) = a1a2are given.