A Finer Aspect of Eigenvalue Distribution of Selfadjoint Band Toeplitz Matrices
A Finer Aspect of Eigenvalue Distribution of Selfadjoint Band Toeplitz Matrices
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自伴带托普利茨矩阵特征值分布的更精细方面
DOI：
10.1137/s089547989834915x
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发表时间：
2002
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
S. Arimoto
中科院分区：
文献类型：
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作者：
P. Zizler;R. Zuidwijk;Keith F. Taylor;S. Arimoto
Toeplitz算子特征值的渐近性在数学文献中得到了广泛的关注，并在许多学科中得到了应用。本文介绍了两个这样的应用学科，并提供了改进现有的渐近结果，使用新的证明方法。下面的结果是典型的：设$T（\varphi）$是一个自伴带限Toeplitz算子，其符号为（真实的值）$\varphi$，它是一个非常数的三角多项式。考虑$T（\varphi）$的有限截断$T_n（\varphi）$和真实的数的有限区间的有限并$E$。我们证明了Szego渐近公式\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N_n（E）}n=\frac 1{2 \pi}m（F）]的一个改进.实际上，我们证明了\[ N_n（E）- \frac 1{2\pi}m（F）n = {\it O}（1）。这里$m（F）$表示单位圆上$F = \varphi^{-1}（E）$的测度，$N_n（E）$表示$T_n（\varphi）$在$E$内的特征值个数。我们证明了类似的结果奇异值的一般Toeplitz运营商涉及的阿夫拉姆-Parter定理的改进。
The asymptotics of eigenvalues of Toeplitz operators has received a lot of attention in the mathematical literature and has been applied in several disciplines. This paper describes two such application disciplines and provides refinements of existing asymptotic results using new methods of proof. The following result is typical: Let $T(\varphi)$ be a selfadjoint band limited Toeplitz operator with a (real valued) symbol $\varphi$, which is a nonconstant trigonometric polynomial. Consider finite truncations $T_n(\varphi)$ of $T(\varphi)$, and a finite union of finite intervals of real numbers $E$. We prove a refinement of the Szego asymptotic formula \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N_n(E)}n=\frac 1{2 \pi}m(F). \] Indeed, we show that \[ N_n(E) - \frac 1{2\pi}m(F)n = {\it O}(1). \] Here $m(F)$ denotes the measure of $F = \varphi^{-1}(E)$ on the unit circle, and $N_n(E)$ denotes the number of eigenvalues of $T_n(\varphi)$ inside $E$. We prove similar results for singular values of general Toeplitz operators involving a refinement of the Avram--Parter theorem.