Cyclic vectors in the Dirichlet space
Cyclic vectors in the Dirichlet space
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DOI：
10.1090/s0002-9947-1984-0748841-0
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发表时间：
1984
影响因子：
1.3
通讯作者：
Leon Brown;A. Shields
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Leon Brown;A. Shields
我们研究了开单位圆盘中具有有限 Dinchlet 积分的解析函数的希尔伯特空间。我们尝试识别该空间中多项式倍数密集的函数。定理 1 和 2 证实了以下猜想的特殊情况：如果 IJ(z)I > Ig(z)l 在所有点上并且如果 g 是循环的，则 J 是循环的。定理3-5给出了函数J是循环的充分条件（t是具有一定平滑度的外函数，边界零集至多可数）和必要条件（径向极限仅对对数容量零集才消失）。介绍。在本文中，我们将研究具有有限狄利克雷积分的复平面中开单位圆盘 a 中解析函数的（希尔伯特）空间： JJ 如果 t12 dx dy [g(z)l 对于某些循环 g，并且所有 z？问题 4 询问当 f 和 l/f 都在空间中时，f 是否一定是循环的。目前还没有已知任何一个问题的答案是否定的例子。在第 2 节中，我们开始研究狄利克雷空间 D 中的循环向量。对于该空间，定理 1 和定理 2 给出了上述问题 3 的部分答案。本部分还包含 2 个命题（10、11）和 4 个问题（7-10）。命题 11 指出，如果 f 和 g 是 D 中的有界函数，且其乘积是循环的，则 f 和 g 都必定是循环的。定理 2 给出了部分逆运算（我们要求 [gl 是 Dini 连续的，编辑于 1983 年 7 月 21 日收到。1980 年数学学科分类。小学 30H05；中学 46E15、46E20、47B37。
We study the Hilbert space of analytic functions with finite Dinchlet integral in the open unit disc. We try to identify the functions whose polynomial multiples are dense in this space. Theorems 1 and 2 confirm a special case of the following conjecture: if IJ(z)I > Ig(z)l at all points and if g is cyclic, thenJis cyclic. Theorems 3-5 give a sufficient condition (t is an outer function with some smoothness and the boundary zero set is at most countable) and a necessary condition (the radial limit can vanish only for a set of loganthmic capacity zero) for a function J to be cyclic. Introduction. In this paper we shall study the (Hilbert) space of analytic functions in the open unit disc a in the complex plane that have a finite Dirichlet integral: JJ If t12 dx dy [g(z)l for some cyclic g, and all z? Question 4 asks if f must be cyclic whenever f and l/f are both in the space. No examples are known where either of these questions has a negative answer. In §2 we begin the study of cyclic vectors in the Dirichlet space D. Theorems 1 and 2 give a partial answer to Question 3 above, for this space. This section also contains 2 propositions (10, 11) and 4 questions (7-10). Proposition 11 says that if f and g are bounded functions in D whose product is cyclic, then bothf and g must be cyclic. Theorem 2 gives a partial converse (we require that [gl be Dini continuous on Received by the editors July 21, 1983. 1980 Mathematics Subject Classification. Primary 30H05; Secondary 46E15, 46E20, 47B37.