The equations defining abelian varieties and modular functions
The equations defining abelian varieties and modular functions
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定义阿贝尔簇和模函数的方程
DOI：
10.1007/bf01420411
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发表时间：
1979
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
S. Koizumi
中科院分区：
文献类型：
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作者：
S. Koizumi
对于Siegel上半空间的一个点z和一个系数在Z中且det e：1：0的n方阵e的对（z，e），我们可以附加一个复环面C/（z，e），其中C的周期晶格子群（z，e）由（z，e）的列向量生成。对于向量k= M ′ R ′，θ函数θ [k]（x）定义为θ [k]（x）= rez ′ e（-t（r+ k ′）z（r+ k ′）+ t（r+ k ′）（x+k ″）），它是（z，x）eJ（C）的全纯函数.给定eZl，U（te）表示fl-1 te-1 Zn mod Z的代表的完整集合。从C到由x（...，O [ko']（z，x），...）如果> 3，则导出k”U（te）C/（z，e}的投射嵌入。Im（））是一个阿贝尔簇，记为A（z）。本文的目的是明确地写出一个定义A（z）的方程组，并证明方程系数的导数集生成关于主同余子群F（fl）的模函数域。我们给出一些定义和符号。对具有单位元1的交换环R，M（n，R）（或M（n，R））是系数在R中的（n a）-矩阵（或n-方阵）的集合;特别地，M（nI，R）由Rn表示。对于det e= f = 0的矩阵e e M（n，Z），水平fl，fl e Z+的仿模群F或主同余子群f 'te（）分别定义为：
To a pair (z, e) of a point z of the Siegel upper half space,(of degree n and an n-square matrix e with coefficients in Z and det e:/: 0, we can attach a complex torus C/(z, e} with the period lattice sub-group (z, e} of C generated by the column vectors of (z, e). For vector k= M’R’the theta function, 9 [k](lx) is defined by9 [k](zx)= rez’e (-t (r+k’) z (r+k’)+ t (r+k’)(x+k")) which is a holomorphic function of (z, x) e J (C. Given e Z/, U (te) denotes a complete set of representatives of fl-lte-lZn mod Z. A map 9 () from C to the projective space gnldetel-l (C) defined by x (..., O [ko’](z, x),...) induces a projective embedding of k" U (te)C/(z, e} if> 3. The Im ()) is an abelian variety, which is denoted by A (z). The purpose of this note is to write down explicitly a system of equations defining A (z) and to show that the set of quotients of coefficients of the equations generates the field of modular functions with respect to the principal congruence subgroup F (fl). We shM1 indicate some definitions and notations. For a commu-tative ring R having the unity 1, M (n, R)(or M (n, R), resp.) is the set of (n a)-matrices (or n-square matrices) with coefficients in R; in particular, M (nI, R) is denoted by Rn. For a matrix e e M (n, Z) with det e=/= 0, the paramodular group F or the principal congruence subgroup f’te () of level fl, fl e Z+, is defined, respectively, by