Simple Relation between the Lowest-Order Element of Ideal 〈G,H〉 and the Last Element of Polynomial Remainder Sequence
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DOI：
10.1109/synasc.2017.00019
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发表时间：
2017-09
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Tateaki Sasaki;D. Inaba
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Tateaki Sasaki;D. Inaba
设G和H是K[x，u]中的互质多项式，其中K是数域且（u）=（u1，. . .，u），其中≥ 2.设GB（G，H）是理想hG的约化Gröbner基，Hi，w.r.t. x的排除顺序。设G是GB（G，H）的最低阶元素，而<$，B ∈ K[x，u]是G的余因子：<$G + e BH =<$。设PRS（G，H）为多项式余项序列w.r.t. x，初始多项式G和H。设Pk ∈ K[u]是PRS（G，H）的最后一个元素，Ak，Bk ∈ K[x，u]是Pk的余子式：AkG + BkH = Pk. Ak和Bk满足度条件：degx（Ak）< degx（H）和degx（Bk）< degx（G），而e à和B一般不满足。通过减少w.r.t.的次数来计算和B。x，分别为A和B，通过对Pk进行适当的归一化，我们证明了（Pk，Ak，Bk）= c（P，A，B），其中（P，A，B）表示一个元组，c ∈ K.在此基础上，我们给出了一种求解多元丢番图方程<$G +<$H = F的新方法，其中F ∈ K[x，u]和未知数φ，<$∈ K（u）[x].此外，我们提出了一种新的方法来解决理想的隶属度问题，为G，H，不计算任何Gröbner基础。
Let G and H be relatively prime polynomials in K[x,u], where K is a number field and (u) = (u1, . . . , uℓ), with ℓ ≥ 2. Let GB(G,H) be the reduced Gröbner basis of ideal hG,Hi, w.r.t. the elimination order for x. Let Ŝ be the lowest-order element of GB(G,H), and Ã, B ∈ K[x,u] be the cofactors of Ŝ: ÃG+ e BH = Ŝ. Let PRS(G,H) be the polynomial remainder sequence w.r.t. x, with initial polynomials G and H. Let Pk ∈ K[u] be the last element of PRS(G,H), and Ak,Bk ∈ K[x,u] be cofactors of Pk: AkG + BkH = Pk. Ak and Bk satisfy degree conditions: degx(Ak) < degx(H) and degx(Bk) < degx(G), while e à and B in general do not. Computing  and B by reducing the degrees w.r.t. x, of à and B, respectively, and by normalizing Pk suitably, we show that (Pk,Ak,Bk) = c ( Ŝ, Â, B), where (P,A,B) denotes a tuple and c ∈ K. We then present a new method for solving the multivariate Diophantine equation ϕ G + ψH = F for given F ∈ K[x,u] and unknowns φ , ψ ∈ K(u)[x]. Furthermore, we show a new method for solving the ideal-membership problem for 〈G,H〉, without computing any Gröbner basis.