Harmonic Analysis Tools for Solving the Incompressible Navier

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M. Cannone

内容简介。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. Prel iminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.1.导航系统能使人保持平衡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.2.经典的、温和的和弱的溶液。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 1.3.纳维和傅立叶相遇。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.方程的功能设置。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.1. Lit tlewood-Paley分解。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.2. Besov空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.3.副积法则。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 2.4。小波分解。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2.5其他有用的函数空间。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.存在性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.1.不动点定理。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.2.缩放不变性。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3.超级经典案例。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.4.危急情况。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.高振荡数据。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.1. Besov空间的一个显著性质。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.2.没有Besov范数的振荡。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.3. Koch和Tataru的结果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.1.弱溶液。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.2.超临界温和溶液。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.3.关键的温和解决方案。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.自相似的解决方案。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.1。反向：奇异。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.2.向前：常规或单一。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Con ten t s Introduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. Prel iminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.1. The Nav ie r -S tokes equat ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.2. Classic 'd, mild and weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 1.3. Navier meets Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2. Functional sett ing of the equat ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.1. The L i t t l ewood-Pa ley decompos i t ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 2.2. The Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2.3. The paraproduct rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 2.4. The wavelet decomposi t ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2.5. Other useful function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3. Exis tence theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.1. The fixed point theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.2. Scal ing invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3. Supercri t ical case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.4. Critical case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4. Highly oscil lat ing data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.1. A remarkable property of Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.2. Osci l la t ions wi thout Besov norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.3. The result of Koch and Tataru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5. Uniqueness theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.1. Weak solut ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.2. Supercri t ical mild solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.3. Critical mild solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6. Self-s imilar solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.1. Backward: Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.2. Forward: Regular or s ingular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

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