Adjoint functors and triples
Adjoint functors and triples
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DOI：
10.1215/ijm/1256068141
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发表时间：
1965-09
影响因子：
0.6
通讯作者：
S. Eilenberg;John C. Moore
中科院分区：
文献类型：
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作者：
S. Eilenberg;John C. Moore
范畴 a 中的波纹 F (F, ,) 由函子 F 和态射 la F, F F 组成，这些恒等式与幺半群中的那些恒等式无关（参见 2, (T.1)-(T.3)）。双联重新定义。 Huber [4] 已经认识到，每当一个仿函数 T a 、 Sa （参见 1）的一个 hs pir 时，函子 TS（具有由伴随性关系产生的适当态射）就构成了 a 中的三元组，并且类似地 ST 产生 a 中的三元组。本文的主要目的是证明 d-联合性和三元组之间的这种关系在某种意义上是可逆的。给定 a 中的三元组 Y，我们定义新的类别并添加函子 T a a，S a，使得 TS 给出的三元组一致。我有很多这样的例子，它们以这种方式生成三重 Y，但其中有一个通用的 Y（因此在某种意义上是“最好的可能”），并且对于这个来说，函子 T 是忠实的（定理 2.2）。这种结构最好通过例子来说明。设a为交换环K上的模类别，设A为K-lgebm。函子 F A@ 与由 A 的 K 代数结构给出的态射 K A、h @ A A 产生的态射 nd 一起，产生一个三元组 Y a。那么类别 a 正是 A 模块的类别。 a 的一般结构与此示例非常相似。另一个例子，设 a 为集合的范畴，设 F 为函子，集合 A 指定由 A 生成的自由群的基础集合。结果是 a 中的三元组 Y，a 是群的范畴。
A riple F (F, ,) in ctegory a consists of functor F a nd morphisms la F, F F stisfying some identities (see 2, (T.1)-(T.3)) nlogous to those stisfied in monoid. Cotriples re defined dually. It has been recognized by Huber [4] that whenever one hs pir of adoint functors T a , S a (see 1), then the functor TS (with appropriate morphisms resulting from the adjointness relation) constitutes a triple in nd similarly ST yields cotriple in a. The main objective of this pper is to show that this relation between d-jointness nd triples is in some sense reversible. Given triple Y in a we define new ctegory a nd adoint functors T a a, S a a such that the triple given by TS coincides with. There my be mny adoint pirs which in this wy generate the triple Y, but among those there is a universal one (which therefore is in a sense the "best possible one") nd for this one the functor T is faithful (Theorem 2.2). This construction cn best be illustrated by n example. Let a be the ctegory of modules over a commu-tative ring K nd let A be K-lgebm. The functor F A@ together with morphisms nd resulting from the morphisms K A, h @ A A given by the K-algebra structure of A, yield then a triple Y a. The ctegory a is then precisely the ctegory of A-modules. The general construction of a closely resembles this example. As another example, let a be the category of sets nd let F be the functor which to ech set A ssigns the underlying set of the free group generated by A. There results triple Y in a nd a is the category of groups.