A Generalization of an Integrability Theorem of Darboux
A Generalization of an Integrability Theorem of Darboux
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达布可积定理的推广
DOI：
10.1007/s12220-018-00119-6
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Kogan, Irina A.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Benfield, Michael;Jenssen, Helge Kristian;Kogan, Irina A.
在他的专着《Systèmes Orthogonaux》（Darboux，in Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes，Gauthier-Villars，巴黎，1910）中，Darboux 陈述了三个定理，为 $$\begin{aligned} \partial _{x_i} u_\alpha 类型的一阶系统提供了解的局部存在性和唯一性(x)=f^\alpha _i(x,u(x)), \quad i\in I_\alpha \subseteq \{1,\dots ,n\}。 \end{aligned}$$∂xiuα(x)=fiα(x,u(x)),i∈Iα⊆{1,⋯,n}。对于给定点 $${\bar{x}}\in \mathbb {R}^n$$x́εRn 假设未知 $$u_\alpha $$uα 的值在 $${\bar{x}}$$x́ 附近局部给出$$\{x\,|\, x_i={\bar{x}}_i \, \text {对于每个}\, i\in I_\alpha \}$${x|xi=x¯i对于每个i∈Iα}。更一般的定理，即定理 III，由达布仅在 $$n=2$$n=2 和 3 的情况下被证明。在这项工作中，我们制定并证明了达布定理 III 的推广，它适用于 $$\begin{aligned} {{\mathbf {r}}}_i(u_\alpha )\big |_x = f_i^\alpha 形式的系统(x, u(x)), \quad i\in I_\alpha \subseteq \{1,\dots ,n\} \end{对齐}$$ri(uα)|x=fiα(x,u(x)),i∈Iα⊆{1,⋯,n}其中 $${\mathcal {R}}=\{{{\mathbf {r}}_i\}_{i=1}^n$$R={ri}i=1n 是 $${\bar{x}}$$x 附近向量场的固定局部框架。 $$u_\alpha $$uα 的数据沿着流形 $$\Xi _\alpha $$Ξα 规定，其中包含 $${\bar{x}}$$x¯ 并横向于向量场 $$\{{{\mathbf {r}}}_i\,|\, i\in I_\alpha \}$${ri|i∈Iα}。我们确定了某个稳定配置条件（SCC）。这是一个几何条件，取决于框架 $${\mathcal {R}}$$R 和流形 $$\Xi _\alpha $$Ξα；在达布考虑的情况下它会自动满足。假设满足 SCC 和相关的可积性条件，我们通过任意数量的自变量 n 的皮卡德迭代建立 $$C^1$$C1 解的局部存在性和唯一性。
In his monograph “Systèmes Orthogonaux” (Darboux, in Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, Gauthier-Villars, Paris, 1910) Darboux stated three theorems providing local existence and uniqueness of solutions to first-order systems of the type $$\begin{aligned} \partial _{x_i} u_\alpha (x)=f^\alpha _i(x,u(x)), \quad i\in I_\alpha \subseteq \{1,\dots ,n\}. \end{aligned}$$∂xiuα(x)=fiα(x,u(x)),i∈Iα⊆{1,⋯,n}.For a given point $${\bar{x}}\in \mathbb {R}^n$$x¯∈Rn it is assumed that the values of the unknown $$u_\alpha $$uα are given locally near $${\bar{x}}$$x¯ along $$\{x\,|\, x_i={\bar{x}}_i \, \text {for each}\, i\in I_\alpha \}$${x|xi=x¯ifor eachi∈Iα}. The more general of the theorems, Théorème III, was proved by Darboux only for the cases $$n=2$$n=2 and 3. In this work we formulate and prove a generalization of Darboux’s Théorème III which applies to systems of the form $$\begin{aligned} {{\mathbf {r}}}_i(u_\alpha )\big |_x = f_i^\alpha (x, u(x)), \quad i\in I_\alpha \subseteq \{1,\dots ,n\} \end{aligned}$$ri(uα)|x=fiα(x,u(x)),i∈Iα⊆{1,⋯,n}where $${\mathcal {R}}=\{{{\mathbf {r}}}_i\}_{i=1}^n$$R={ri}i=1n is a fixed local frame of vector fields near $${\bar{x}}$$x¯. The data for $$u_\alpha $$uα are prescribed along a manifold $$\Xi _\alpha $$Ξα containing $${\bar{x}}$$x¯ and transverse to the vector fields $$\{{{\mathbf {r}}}_i\,|\, i\in I_\alpha \}$${ri|i∈Iα}. We identify a certain Stable Configuration Condition (SCC). This is a geometric condition that depends on both the frame $${\mathcal {R}}$$R and on the manifolds $$\Xi _\alpha $$Ξα; it is automatically met in the case considered by Darboux. Assuming the SCC and the relevant integrability conditions are satisfied, we establish local existence and uniqueness of a $$C^1$$C1-solution via Picard iteration for any number of independent variablesn.
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