On the Stability and Gelfand Property of Symmetric Pairs
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DOI：
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发表时间：
2015-11
期刊：
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通讯作者：
Shachar Carmeli
中科院分区：
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作者：
Shachar Carmeli
一对对称的约化群$（G，H，\theta）$称为稳定的，如果$H$在$G$中的每一个闭双陪集都被反对合$g\mapsto \theta（g^{-1}）$保持。在本文中，我们开发了一种方法来验证的稳定性对称对局部领域的特征0（阿基米德和$p$-adic），使用非阿贝尔群上同调。结合Aizenbud和Gourevitch的结果，我们将Gelfand对分类为对\开始{align*} &（SL_n（F），（GL_k（F）\times GL_{n-k}（F））\cap SL_n（F）），（U（B_1 \oplus B_2），U（B_1）\times U（B_2）），\\ &（GL_n（F），O（B）），（GL_n（F），U（B）），（GL_{2n}（F），GL_n（E）），（SL_{2n}（F），SL_n（E）），\end{align*}和对$（O（B_1 \oplus B_2），O（B_1）\times O（B_2））$在真实的情况下。
A symmetric pair of reductive groups $(G,H,\theta)$ is called stable, if every closed double coset of $H$ in $G$ is preserved by the anti-involution $g\mapsto \theta(g^{-1})$. In this paper, we develop a method to verify the stability of symmetric pairs over local fields of characteristic 0 (Archimedean and $p$-adic), using non-abelian group cohomology. Combining our method with results of Aizenbud and Gourevitch, we classify the Gelfand pairs among the pairs \begin{align*} &(SL_n(F), (GL_k(F) \times GL_{n - k}(F)) \cap SL_n(F)), (U(B_1 \oplus B_2),U(B_1) \times U(B_2)),\\ &(GL_n(F),O(B)), (GL_n(F),U(B)), (GL_{2n}(F), GL_n(E)),(SL_{2n}(F), SL_n(E)), \end{align*} and the pair $(O(B_1 \oplus B_2),O(B_1) \times O(B_2))$ in the real case.