Tilings and discrete Dirichlet problems
Tilings and discrete Dirichlet problems
复制标题
平铺和离散狄利克雷问题
DOI：
10.1007/bf02780322
复制
发表时间：
1998
影响因子：
1
通讯作者：
R. Kenyon
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
R. Kenyon
Letf是有限平面马氏链M上的调和函数，其边界由同一面上的两个顶点组成。我们构造了(M，f)的一个几何实现，它是一个带有梯形的矩形的平铺，每个梯形有两条水平边。相反，每一个这样的瓦片都是以这种方式产生的。类似的结果也适用于具有更一般边界条件的调和函数。边缘上转移概率的某些规定会导致具有指定形状的拼接。这使我们可以给出任意多边形平铺存在的必要条件，其中包括正方形、等边三角形等。使用这种方法，我们对所有最多只有一个非凸顶点的多边形进行分类，这些非凸顶点可以用正方形平铺。类似的分类也适用于等边三角形的平铺。我们确定了欧几里德环面，它可以是正方形的。
Letf be a harmonic function on a finite planar Markov chainM whose boundary consists of two vertices on the same face. We construct a geometric realization of (M, f) as a tiling of a rectangle with trapezoids, each trapezoid having two horizontal edges. Conversely, each such tiling arises in this way. Similar results hold for harmonic functions with more general boundary conditions.Certain prescriptions of transition probabilities on edges inM give rise to tilings with prescribed shapes. This allows us to give necessary conditions for the existence of a tiling of an arbitrary polygon with squares, equilateral triangles, and so on. Using this method, we classify all polygons with at most one non-convex vertex which can be tiled with squares. A similar classification holds for tiling with equilateral triangles. We determine the Euclidean tori which can be square-tiled.