A Note on p . adic Etale Cohomology-猫眼课题宝

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2021

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作者：

M. Kurihara

1o 令 X 为完整离散估值环 A o2 混合特征 (0, p) 上的投影平滑方案。在[2]中，Fontaine和Messing研究了通用纤维H(X)-H(X(R), Z)（是代数闭包o2]）的p-adic etale上同调与特殊纤维H(X)的结晶上同调之间的关系。在本文中，我们考虑的不是 Gal(/v)-表示 H(X)，而是 H(X) 本身，并使用[2]中介绍的句元上同调来研究这个上同调群。包含完整证明的详细研究将在其他地方出现。我们将使用 2ollowing 符号“X 是上面的 d 维 A 上的射影、平滑和几何连通方案，Y-X（分别为 X）是特殊纤维（分别为通用纤维），而 i”YX（分别为]”X--X）是规范态射。我们假设 A 的留数场 F 具有 g 阶的有限 p 基（即 [F" F]=p0. Fontaine 和 Messing [2] 在 Xn 上定义了同义位点 X 和 shea S，以便将 etale 上同调与 De Rham 上同调联系起来。这个 shea2 S 被视为 X 上的“理想”etale shea2 ZipS(r)。即，群 H(X, S) 预计将扮演无法直接定义的角色 o ,,rzt: Z/p(r))"。在[2]中，一个全局的。上同调 H(X,Zp) 在假设 e=ord(p)=l 下进行研究。本文的目的是当 e 可能不为 1 时，局部研究 o2 p-adie etale 消失循环 i*R],Z/p%r)。将 (r)=i*Rz.S e D(Y,) 置于 [3] 中，其中 z"XX 是规范态射。 Fontaine 和 Messing 在 [2] 5 中定义了一个态射 S--.i’*]’.Z/p(r) （其中 ]’” X,-+X,vn_,, i’” XvXv_**），从而导出。 3(r) -.i*Rj.Z/p(r)。我们研究 q(r) 和 i*Rj.Z/p(r) 之间的差异。定理。如果 r <p--1，则存在一个显着的三角形 (r) >rri*R].Z/p(r) "W9o [-r].r-1，其中 W[2r,o 是对数 Hodge-Witt 束。特别是，如果 r >_ d(--dim X)+g(= ord [F" F])，我们有一个长的精确序列

1o Let X be a projective smooth scheme over a complete discrete valuation ring A o2 mixed characteristics (0, p). In [2], Fontaine and Messing studied the relation between the p-adic etale cohomology o the generic fiber H(X)-H(X(R), Z) ( is an algebraic closure o2 ]) and the crystalline cohomology of the special fiber H(X). In this article, we consider not Gal(/v)-representation H(X), but H(X) itsel and study this cohomology group by using the syntomic cohomology introduced in [2]. Detailed studies containing the complete proof will appear elsewhere. We will use the 2ollowing notation" X is a projective, smooth and geometrically connected scheme over A of dimension d as above, and Y-X (resp. X) is the special fiber (resp. the generic fiber), and i" YX (resp. ]" X--X) is the canonical morphism. We assume that the residue field F of A has a finite p-base of order g (i.e. [F" F]=p0. Fontaine and Messing [2] defined the syntomic siteX and a shea S on Xn in order to link the etale cohomology to De Rham cohomology. This shea2 S is regarded as an "ideal" etale shea2 ZipS(r) on X. Namely, the group H(X, S) is expected to play a role o ,,rzt: Z/p(r))" which cannot be defined directly. In [2], a global cohomology H(X,Zp) was studied under the assumption e=ord(p)=l. Our aim in this paper is a local study o2 p-adie etale vanishing cycles i*R],Z/p%r) when e may not be 1. Put (r)=i*Rz.S e D(Y,) as in [3] where z"XXis the canonical morphism. Fontaine and Messing defined a morphism S--.i’*]’.Z/p(r) (where ]’" X,-+X,vn_,, i’" XvXv_**) in [2] 5, which induces. 3(r) -.i*Rj.Z/p(r). We study the difference between q(r) and i*Rj.Z/p(r). Theorem. If r <p--1, there exists a distinguished triangle (r) >rri*R].Z/p(r) "W9o [-r]. r-1 where W[2r,o is the logarithmic Hodge-Witt sheaf. In particular, if r >_ d(--dim X)+g(= ord [F" F]), we have a long exact sequence

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