Normalized solutions for a coupled Schrödinger system
Normalized solutions for a coupled Schrödinger system
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耦合薛定谔系统的归一化解
DOI：
10.1007/s00208-020-02000-w
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发表时间：
2019-08
影响因子：
1.4
通讯作者：
Wenming Zou
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Thomas Bartsch;Xuexiu Zhong;Wenming Zou
在本文中，我们证明了耦合薛定谔方程组的解$(\lambda_1,\lambda_2,u,v)\in\mathbb{R}^2\times H^1(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2)$的存在性。
$$
\begin{cases}
-\Delta u+\lambda_1u=\mu_1u^3+\beta uv^2\quad&\text{在}\;\mathbb{R}^3\\
-\Delta v+\lambda_2v=\mu_2v^3+\beta u^2v\quad&\text{在}\;\mathbb{R}^3\\
u,v>0&\text{在}\;\mathbb{R}^3
\end{cases}
$$
满足归一化约束
$$\int_{\mathbb{R}^3}u^2=a^2\quad\text{并且}\;\int_{\mathbb{R}^3}v^2=b^2$$
它出现在玻色 - 爱因斯坦凝聚体的二元混合物或非线性光学中。参数$\mu_1,\mu_2,\beta>0$以及质量$a,b>0$是给定的。该系统大多是在频率$\lambda_1,\lambda_2$固定的情况下被考虑的。当质量给定时，解决这个问题的标准方法是变分法，其中$\lambda_1,\lambda_2$作为拉格朗日乘子出现。在这里，我们提出一种基于锥中的不动点指数、分歧理论和延拓方法的新方法。我们得到了对于任意给定的$a,b>0$，在$\beta$的一个大范围内归一化解的存在性。我们还有一个关于正解不存在性的结果，这表明我们的存在性定理几乎是最优的。特别地，如果$\mu_1=\mu_2$，我们证明对于所有的$\beta>0$以及所有的$a,b>0$，归一化解都存在。
In the present paper, we prove the existence of solutions $(\la_1,\la_2,u,v)\in\R^2\times H^1(\R^3,\R^2)$ to systems of coupled Schr\"odinger equations.$$.\bcs.-\De u+\la_1u=\mu_1 u^3+\be uv^2\quad &\hbox{in}\;\R^3\\.-\De v+\la_2v=\mu_2 v^3+\be u^2v\quad&\hbox{in}\;\R^3\\.u,v>0&\hbox{in}\;\R^3.\ecs.$$.satisfying the normalization constraint.$.\displaystyle\int_{\R^3}u^2=a^2\quad\hbox{and}\;\int_{\R^3}v^2=b^2,.$.which appear in binary mixtures of Bose-Einstein condensates or in nonlinear optics..The parameters $\mu_1,\mu_2,\be>0$ are prescribed as are the masses $a,b>0$. The system has been considered mostly in the case of fixed frequencies $\la_1,\la_2$. When the masses are prescribed, the standard approach to this problem is variational with $\la_1,\la_2$ appearing as Lagrange multipliers. Here we present a new approach based on the fixed point index in cones, bifurcation theory, and the continuation method. We obtain the existence of normalized solutions for any given $a,b>0$ for $\be$ in a large range. We also have a result about the nonexistence of positive solutions which shows that our existence theorem is almost optimal. Especially, if $\mu_1=\mu_2$ we prove that normalized solutions exist for all $\be>0$ and all $a,b>0$.
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