On quadratic Schrödinger equations in R1+1: a normal form approach
On quadratic Schrödinger equations in R1+1: a normal form approach
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关于 R1+1 中的二次薛定谔方程：一种范式方法
DOI：
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发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
A. Stefanov
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Seungly Oh;A. Stefanov
对于薛定谔方程 ut + iuxx = <▿>β [u2], β ∈ (0, ½)，我们在 Hβ−1+ 中建立局部适定性（注意，如果 β=0，则在端点之前，这与 Bejenaru-Tao 的尖锐结果相匹配 [二次非线性薛定谔的尖锐适定性和不适定性结果方程，J. 函数 233 (2006) 228–259.]）。我们的方法与前一种方法有很大不同，我们使用范式变换来分析非线性中最差的相互作用项，然后表明其余项（更加）平滑。特别是，这使我们能够得出结论：u−e−it∂x2 u(0) ∈ H−1/2 (R1)，即使 u(0) ∈ Hβ−1+。
For the Schrödinger equation ut + iuxx = 〈▿〉β [u2], β ∈ (0, ½), we establish local well‐posedness in Hβ−1+ (note that if β=0, this matches, up to an endpoint, the sharp result of Bejenaru–Tao [Sharp well‐posedness and ill‐posedness results for a quadratic non‐linear Schrödinger equation, J. Funct. Anal. 233 (2006) 228–259.]). Our approach differs significantly from the previous one, we use normal form transformation to analyze the worst interacting terms in the nonlinearity and then show that the remaining terms are (much) smoother. In particular, this allows us to conclude that u−e−it∂x2 u(0) ∈ H−1/2 (R1), even though u(0) ∈ Hβ−1+.