Instability of the solitary waves for the 1d NLS with an attractive delta potential in the degenerate case
Instability of the solitary waves for the 1d NLS with an attractive delta potential in the degenerate case
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简并情况下具有有吸引力的 delta 势的 1d NLS 孤立波的不稳定性
DOI：
10.4310/mrl.2022.v29.n1.a9
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发表时间：
2019
影响因子：
1
通讯作者：
Guixiang Xu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Xingdong Tang;Guixiang Xu
在本文中，我们展示了 1d NLS 的孤立波 $Q_{\Omega}e^{i\Omega t}$ 的轨道不稳定性，具有有吸引力的 delta 势 ($\gamma>0$)
\开始{方程*}
iu_t+u_{xx}+\gamma\delta u+\abs{u}^{p-1}u=0, \; p>5，
\end{equation*} 其中 $\Omega=\Omega(p,\gamma)>\frac{\gamma^2}{4}$ 是临界振荡数，由下式确定
\begin{方程*} \frac{p-5}{p-1} \int_{ \arctanh\sts{ \frac{\gamma}{2\sqrt{\Omega}} } }^{+\infty} \sech^{\frac{4}{p-1}}\sts{y}\d y = { \frac{\gamma}{ 2\sqrt{\Omega} } }\sts{ 1-\frac{\gamma^2}{4\Omega} }^{-\frac{p-3}{p-1}} \Longleftrightarrow \mathbf{d}''(\Omega) =0。
\end{equation*} \cite{A2009Stab, GSS1987JFA1} 中的经典凸方法和 Grillakis-Shatah-Strauss 稳定性方法在这种退化情况下不起作用，这里的论证是由 \cite{CP2003CPAM, MM2001GAFA, M2012JFA, MTX2018, O2011JFA} 中的内容激发的。主要内容是根据哈密顿量的简并结构，在水平集$\Mcal(Q_{\Omega})$上构造孤立波$Q_{\Omega}e^{i\Omega t}$附近的不稳定二阶近似，并构造精化的维里恒等式以表明孤立波$Q_{\Omega}e^{i\Omega t}$在能量空间中的轨道不稳定性。我们的结果是退化情况下 \cite{FOO2008AIHP} 中结果的补充。
In this paper, we show the orbital instability of the solitary waves $Q_{\Omega}e^{i\Omega t}$ of the 1d NLS with an attractive delta potential ($\gamma>0$)
\begin{equation*}
iu_t+u_{xx}+\gamma\delta u+\abs{u}^{p-1}u=0, \; p>5,
\end{equation*} where $\Omega=\Omega(p,\gamma)>\frac{\gamma^2}{4}$ is the critical oscillation number and determined by
\begin{equation*} \frac{p-5}{p-1} \int_{ \arctanh\sts{ \frac{\gamma}{2\sqrt{\Omega}} } }^{+\infty} \sech^{\frac{4}{p-1}}\sts{y}\d y = { \frac{\gamma}{ 2\sqrt{\Omega} } }\sts{ 1-\frac{\gamma^2}{4\Omega} }^{-\frac{p-3}{p-1}} \Longleftrightarrow \mathbf{d}''(\Omega) =0.
\end{equation*} The classical convex method and Grillakis-Shatah-Strauss's stability approach in \cite{A2009Stab, GSS1987JFA1} don't work in this degenerate case, and the argument here is motivated by those in \cite{CP2003CPAM, MM2001GAFA, M2012JFA, MTX2018, O2011JFA}. The main ingredients are to construct the unstable second order approximation near the solitary wave $Q_{\Omega}e^{i\Omega t}$ on the level set $\Mcal(Q_{\Omega})$ accoding to the degenerate structure of the Hamiltonian and to construct the refined Virial identity to show the orbital instability of the solitary waves $Q_{\Omega}e^{i\Omega t}$ in the energy space. Our result is the complement of the results in \cite{FOO2008AIHP} in the degenerate case.
具有δ势的三次五次非线性薛定谔方程的驻波稳定性
DOI：
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发表时间：
2023
期刊：
影响因子：
--
作者：
Yasunori Kimura;Katsutoshi Shinohara;Yasunori Kimura;Yasunori Kimura;Yasunori Kimura and Keisuke Shindo;古場一;太田 雅人
通讯作者：
太田 雅人
具有点缺陷的非线性薛定谔方程
DOI：
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发表时间：
2008
期刊：
Annales de 1'Institut Henri Poincar, Analyse Non Lineaire 25
影响因子：
--
作者：
Reika Fukuizumi;Masahito Ohta;Tohru Ozawa
通讯作者：
Tohru Ozawa