Analyse fonctionnelle / Functional Analysis Smallest singular value of random matrices with independent columns
Analyse fonctionnelle / Functional Analysis Smallest singular value of random matrices with independent columns
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分析 fonctionnelle / 泛函分析 具有独立列的随机矩阵的最小奇异值
DOI：
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
N. Tomczak
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Rados law;O. Guédon;A. Litvak;A. Pajor;N. Tomczak
研究了独立同分布随机方阵的最小奇异值问题。从各向同性对称对数凹分布绘制的列。我们证明了一个偏差不等式的各向同性常数的分布。Sur la plus petite valeur singulière de matrices aléatoires avec des colonnes indépendantes Résumé.研究了一个矩阵的最小值，该矩阵具有独立的矢量矩阵列。密度对数凹各向同性的一种方法。关于各向同性常数的不均匀性。独立同分布随机矩阵最小奇异值的性质。多年来，随机参赛吸引了很多关注。主要结果最近在[5，8，9，10]中得到。在渐近几何中，人们感兴趣的是在凸体中均匀分布的采样向量。特别地，条目不一定是独立的。在本说明中，我们研究更一般的情况下，列是独立同分布的。具有对称各向同性对数凹分布的随机向量。我们证明了一个关于参数Lμ的最小奇异值的偏差不等式，在从凸体采样的情况下，L μ对应于凸体的各向同性常数。回想一下，R上的非负函数f称为对数凹函数，如果对所有x，y ∈ R和所有θ ∈（0，1），f（（1 − θ）x + θy）≥ f（x）1−θf（y）θ。本文称R上的对称概率测度μ是对数凹的，如果它的密度f是对称对数凹的;称它是迷向的，如果它的协方差矩阵是单位的。我们还将设置Lμ = f（0）。让我们观察到，如果μ是一个各向同性的概率措施均匀分布的对称凸体K那么Lμ是1这项工作是这样做的时候，作者在数学和统计科学系，大学的阿尔伯塔埃德蒙顿，阿尔伯塔。该职位由太平洋数学科学研究所赞助。2本文作者拥有加拿大几何分析研究主席。
We study the smallest singular value of a square random matrix with i.i.d. columns drawn from an isotropic symmetric log-concave distribution. We prove a deviation inequality in terms of the isotropic constant of the distribution. Sur la plus petite valeur singulière de matrices aléatoires avec des colonnes indépendantes Résumé. On étudie la plus petite valeur singulière d’une matrice carrée aléatoire dont les colonnes sont des vecteurs aléatoires i.i.d. suivant une loi à densité log-concave isotrope. On démontre une inégalité de déviation en fonction de la constante d’isotropie. The behaviour of the smallest singular value of random matrices with i.i.d. random entries attracted a lot of attention over the years. Major results were recently obtained in [5, 8, 9, 10]. In asymptotic geometry one is interested in sampling vectors uniformly distributed in a convex body. In particular the entries are not necessarily independent. In this note, we study the more general case when the columns are i.i.d. random vectors with a symmetric isotropic log-concave distribution. We prove a deviation inequality for the smallest singular value in terms of a parameter Lμ which, in the case of sampling from a convex body, corresponds to the isotropic constant of the body. Recall that a non-negative function f on R is called log-concave if for all x, y ∈ R and all θ ∈ (0, 1), f((1 − θ)x + θy) ≥ f(x)1−θf(y)θ. In this paper a symmetric probability measure μ on R is said to be log-concave if its density f is symmetric log-concave and it is called isotropic if its covariance matrix is the identity. We will also set Lμ = f(0). Let us observe that if μ is an isotropic probability measure uniformly distributed on a symmetric convex body K then Lμ is the 1This work was done when this author held a postdoctoral position at the Department of Mathematical and Statistical Sciences, University of Alberta in Edmonton, Alberta. The position was sponsored by the Pacific Institute for the Mathematical Sciences. 2This author holds the Canada Research Chair in Geometric Analysis.