Random Diophantine Equations
Random Diophantine Equations
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随机丢番图方程
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发表时间：
2003
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
N. M. Katz
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Colliot;N. M. Katz
固定n，d ≥ 2。令Z[x 0，. . . .. . .，xn]的次数d。设m =（n+d d）表示x ~ 0，.. . .，xn。定义f ∈ Z[x 0，. . .，xn]d作为f的系数的绝对值的最大值。设MQ是Q的位置集，Qv是Q在位置v处的完备化。定义Ntot（H）= #{ f ∈ Z[x 0，. . .，xn]d：h（f）≤ H } =（2bHc+ 1），N（H）= #{ f ∈ Z[x0，. . .，xn]d：h（f）≤ H，且f（x）= 0 }，Nloc（H）= #{ f ∈ Z[x0，. . .，xn]d：h（f）≤ H，且<$v ∈ MQ，<$x ∈ Qv\ {0}，其中f（x）= 0 }.当H →∞时N（H）/Ntot（H）的极限，如果存在的话，将被称为全局可解超曲面的比例。类似地，Nloc（H）/Ntot（H）的极限将被称为局部可解超曲面的比例。
Fix n, d ≥ 2. Let Z[x0, . . . , xn]d denote the set of homogeneous polynomials in Z[x0, . . . , xn] of degree d. Let m = ( n+d d ) denote the number of monomials in x0, . . . , xn of degree d. Define the height h(f) of f ∈ Z[x0, . . . , xn]d as the maximum of the absolute values of the coefficients of f . Let MQ be the set of places of Q, and let Qv be the completion of Q at the place v. Define Ntot(H) = #{ f ∈ Z[x0, . . . , xn]d : h(f) ≤ H } = (2bHc+ 1) , N(H) = #{ f ∈ Z[x0, . . . , xn]d : h(f) ≤ H, and ∃x ∈ Z \ {0} with f(x) = 0 }, Nloc(H) = #{ f ∈ Z[x0, . . . , xn]d : h(f) ≤ H, and ∀v ∈ MQ,∃x ∈ Q v \ {0} with f(x) = 0 }. The limit of N(H)/Ntot(H) as H →∞, if it exists, will be called the proportion of globally solvable hypersurfaces. Similarly, the limit of Nloc(H)/Ntot(H) will be called the proportion of locally solvable hypersurfaces.