Delocalized Eta Invariants, Algebraicity, and K-Theory of Group C*-Algebras
Delocalized Eta Invariants, Algebraicity, and K-Theory of Group C*-Algebras
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DOI：
10.1093/imrn/rnz170
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发表时间：
2018-05
影响因子：
1
通讯作者：
Zhizhang Xie;Guoliang Yu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Zhizhang Xie;Guoliang Yu
在这篇文章中，我们建立了高阶Rho不变量和离域ETA不变量之间的精确联系。给定离散群中的一个元素，如果它的共轭类有多项式增长，则它的群$C^\ast$-代数的$K_0$-群上有一个自然迹映射。对于每个这样的迹映射，我们构造了一个次级更高不变量上的行列式映射。我们证明，在这个行列式映射的评估下，具有较高Rho不变量的图像恰好是对应的Lott的离域ETA不变量。因此，我们证明了如果Baum-Connes猜想对群成立，则Lott的离域ETA不变量取代数值。我们还将Lott的离域ETA不变量推广到相应的共轭类不具有多项式增长的情况，只要强Novikov猜想对群成立。
In this paper, we establish a precise connection between higher rho invariants and delocalized eta invariants. Given an element in a discrete group, if its conjugacy class has polynomial growth, then there is a natural trace map on the $K_0$-group of its group $C^\ast$-algebra. For each such trace map, we construct a determinant map on secondary higher invariants. We show that, under the evaluation of this determinant map, the image of a higher rho invariant is precisely the corresponding delocalized eta invariant of Lott. As a consequence, we show that if the Baum–Connes conjecture holds for a group, then Lott’s delocalized eta invariants take values in algebraic numbers. We also generalize Lott’s delocalized eta invariant to the case where the corresponding conjugacy class does not have polynomial growth, provided that the strong Novikov conjecture holds for the group.