Formal duality in finite abelian groups
Formal duality in finite abelian groups
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有限阿贝尔群中的形式对偶性
DOI：
10.1016/j.jcta.2018.11.005
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Robert Schüler
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Shuxing Li;Alexander Pott;Robert Schüler
Cohn，Kumar和Schürmann受欧氏空间中能量最小化周期组态实验研究的启发，提出了一对周期组态之间的形式对偶概念，这表明能量最小化周期组态具有意想不到的对称性。后来，Cohn、Kumar、Reiher和Schürmann将一对周期构形之间的形式对偶转化为有限阿贝尔群中一对子集的形式对偶。这一认识建议研究形式对偶的组合对应物，即形式对偶对。本文系统地研究了有限交换群中形式对偶对的基本概念、构造、刻画和不存在性结果。与循环群中本原形式对偶偶非常罕见的观点相反，我们在非循环群中构造了三个本原形式对偶偶族。这些构造启发我们提出偶集的概念，揭示了形式对偶对的更多结构信息，并由此刻画了秩3本原形式对偶对.最后，我们得到了一些关于本原形式对偶对的不存在性结果，这些结果支持了主要猜想：除了两个小例子外，循环群中不存在本原形式对偶对。
Inspired by an experimental study of energy-minimizing periodic configurations in Euclidean space, Cohn, Kumar and Schürmann proposed the concept of formal duality between a pair of periodic configurations, which indicates an unexpected symmetry possessed by the energy-minimizing periodic configurations. Later on, Cohn, Kumar, Reiher and Schürmann translated the formal duality between a pair of periodic configurations into the formal duality of a pair of subsets in a finite abelian group. This insight suggests to study the combinatorial counterpart of formal duality, which is a configuration named formally dual pair. In this paper, we initiate a systematic investigation on formally dual pairs in finite abelian groups, which involves basic concepts, constructions, characterizations and nonexistence results. In contrast to the belief that primitive formally dual pairs are very rare in cyclic groups, we construct three families of primitive formally dual pairs in noncyclic groups. These constructions enlighten us to propose the concept of even sets, which reveals more structural information about formally dual pairs and leads to a characterization of rank three primitive formally dual pairs. Finally, we derive some nonexistence results about primitive formally dual pairs, which are in favor of the main conjecture that except two small examples, no primitive formally dual pair exists in cyclic groups.
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