Counting the solutions of lambda(1)x(1)(k1) + . . . + lambda(t)x(t)(kt) equivalent to c mod n
Counting the solutions of lambda(1)x(1)(k1) + . . . + lambda(t)x(t)(kt) equivalent to c mod n
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计算 lambda(1)x(1)(k1) 的解。
DOI：
10.1016/j.jnt.2017.10.017
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发表时间：
2018
影响因子：
0.7
通讯作者：
Ouyang Yi
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Li Songsong;Ouyang Yi
给定一个多项式Q（x1，x1，xt）= λ 1 x1 k1 + λ t xt kt，对任意c∈ Z，n≥ 2，研究了同余方程Q（x1，x1，xt）<$cmod n在（Z/nZ）t中的解的个数NJ（Q; c，n），使得xi ∈（Z/nZ）×，其中i∈ J <$I={1，n，t}.对p为任意素数，a≥ 1为任意整数，本文给出了研究NJ（Q; c，pa）的公式和算法.作为主要结果的推广，我们完全解决了：Q（xi）=∑ i∈ I λ ixi对任意素数p和I的任意子集J的计数问题，Q（xi）=∑ i∈ I λ ixi 2对任意p和J在t= 2的情况下的计数问题，以及对任意p和J满足min ∞ {vp（λ i）}的一般情况下的计数问题|i∈ I}= min <${v p（λ i）|i∈ J};在t= 2的情况下，对任意p ∈ k和任意J，Q（xi）=∑ i∈ I λ i xik的计数问题，以及在t一般的情况下，对任意p ∈ k和J，满足min <${v p（λ i）|i∈ I}= min <${v p（λ i）|i∈ J}。
Given a polynomial Q (x 1,⋯, x t)= λ 1 x 1 k 1+⋯+ λ t x t k t, for every c∈ Z and n≥ 2, we study the number of solutions N J (Q; c, n) of the congruence equation Q (x 1,⋯, x t)≡ c mod n in (Z/n Z) t such that x i∈(Z/n Z)× for i∈ J⊆ I={1,⋯, t}. We deduce formulas and an algorithm to study N J (Q; c, p a) for p any prime number and a≥ 1 any integer. As consequences of our main results, we completely solve: the counting problem of Q (x i)=∑ i∈ I λ i x i for any prime p and any subset J of I; the counting problem of Q (x i)=∑ i∈ I λ i x i 2 in the case t= 2 for any p and J, and the case t general for any p and J satisfying min{v p (λ i)| i∈ I}= min{v p (λ i)| i∈ J}; the counting problem of Q (x i)=∑ i∈ I λ i x i k in the case t= 2 for any p∤ k and any J, and in the case t general for any p∤ k and J satisfying min{v p (λ i)| i∈ I}= min{v p (λ i)| i∈ J}.