Vandermonde Varieties, Mirrored Spaces, and the Cohomology of Symmetric Semi-algebraic Sets
Vandermonde Varieties, Mirrored Spaces, and the Cohomology of Symmetric Semi-algebraic Sets
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Vandermonde 簇、镜像空间和对称半代数集的上同调
DOI：
10.1007/s10208-021-09519-7
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发表时间：
2021
影响因子：
3
通讯作者：
Riener, Cordian
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Basu, Saugata;Riener, Cordian
让我们成为一个真实的封闭的领域。证明了对于每个固定集，存在一个算法，该算法以一个无量词的一阶公式为输入，其中原子P=0，P>0，P<0，P ∈P <$D[X1，...，Xk]≤dSk，其中是包含在由定义的对称半代数集的有序域，并计算第一上同调群的秩.该算法的复杂性（通过中的算术运算的数量来衡量）由一个多项式链和（对于固定的链和）限制。该结果与仅计算第零贝蒂数的问题的困难性（即，半代数连通分量的数目）在一般情况下（取有序域为等于）。上述算法结果是建立在对称半代数集上同调的新的表示论结果之上的。证明了由小次数对称多项式定义的闭半代数集的低维上同调模的同构分解中，对应于长长度划分的Specht模不可能出现.这一结果推广了作者以前对这类划分的秩进行限制的结果，是设计前一段中提到的算法的关键技术工具。
Letbe a real closed field. We prove that for each fixed, there exists an algorithm that takes as input a quantifier-free first-order formulawith atoms P=0,P>0,P<0withP∈P⊂D[X1,…,Xk]≤dSk, whereis an ordered domain contained in, and computes the ranks of the firstcohomology groups, of the symmetric semi-algebraic set defined by. The complexity of this algorithm (measured by the number of arithmetic operations in) is bounded by apolynomialinkand(for fixeddand). This result contrasts with the-hardness of the problem of computing just the zeroth Betti number (i.e., the number of semi-algebraically connected components) in the general case for(taking the ordered domainto be equal to). The above algorithmic result is built on new representation theoretic results on the cohomology of symmetric semi-algebraic sets. We prove that the Specht modules corresponding to partitions having long lengths cannot occur in the isotypic decompositions of low-dimensional cohomology modules of closed semi-algebraic sets defined by symmetric polynomials having small degrees. This result generalizes prior results obtained by the authors giving restrictions on such partitions in terms of their ranks and is the key technical tool in the design of the algorithm mentioned in the previous paragraph.
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